高中数学第一章立体几何初步1-7简单几何体的再认识学案北师大版

高中数学第一章立体几何初步1-7简单几何体的再认识学案北师大

版必修2

[核心必知]

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

其中r

径．

2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积

其中c′，c

[问题思考]

1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？

提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同．表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．

2．柱体、锥体、台体之间有如下关系：

那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？

提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c′＝c，可以得到柱体的侧面积公式，令c′＝0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：S柱侧＝ch′c＝c′,S台侧＝(c＋c′)h′S锥侧＝ch′.

3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？

提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与

侧棱长的乘积．

讲一讲

1．(1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为( )

A．6π(4π＋3)

B．8π(3π＋1)

C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)

D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)

(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为( )

A．1∶1 B．1∶2

C．1∶3 D．1∶4

[尝试解答] (1)选 C 圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，S 全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．

(2)选C 如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．∵O1为PO2的中点，

∴＝＝＝，

∴PA＝AB，O2B＝2O1A.

∵S圆锥侧＝×2π·O1A·PA，

S圆台侧＝×2π·(O1A＋O2B)·AB，

∴＝＝.

1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和．

2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．练一练

1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的