高三年级第一学期期中考试数学试题(附答案)

高三年级第一学期期中考试数学试题

总分１５０分

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的，把答案填写在答题卷相应位置上．．．．．．．．

。 B 1．命题“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的

（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

D 2．已知210

)(1-=-x x f ，则=-)8(1f （A ）12 （B ）8

（C ）4 （D ）2 D 3．下列函数中值域是R +的是

（A ） y=132+-x x （B ）()210y x x =+>

（C ）21y x x =++ （D ）y=11

2-x

D 4．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为

(A) 3 （B ）4 (C) 6 （D ）8

A 5．数列1， 31，31，31，51，51，51，51，51，7

1……的前100项之和为 （A ）10 （B ）19191 （C ）11 （D ）21

209 A 6．设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比q=2,且123a a a …30302a = 则369a a a …30a =

(A) 202 （B ）102 (C) 162 （D ） 152

C 7．已知2a =r ，2b =r ，a r 与b r 的夹角为60?，53c a b =+r r r ，3d a kb =+r r r ，若c d ⊥r r ，则k 的值

为

（A ）1- （B ）1 （C ）3911- （D ）3911

B 8．如果sin 22

()13α>，则α一定在

(A)第一、三象限 (B)第二、四象限 (C)第三、四象限 (D)第一、二象限

C 9．在ABC ?中，60,1,A b ∠== ABC ?sin sin sin a b c A B C

++=++

（A ） （B （C （D B10．函数sin cos y a x b x =-的图象的一条对称轴方程为4x p =

，则直线0ax by c -+=的倾斜角是 (A) 45° （B ）135° （C ）60° （D ）120°

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答．题卷相应位置上．．．．．．．

。 11．夏季某高山上的温度从山脚起，每升高100米降低0.7C ?，已知山顶处的温度是14.8C ?，山脚温

度是26C ?，则这山的山顶相对于山脚处的高度是 1600 m ．

12．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另

外两人.如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为__5_____小时.

13．已知)12(+x f 是偶函数，则函数)2(x f 的图象的对称轴是 2

1=x 14．已知),2,0[π∈x 且},22cos |{},21sin |{≤=≥=x x B x x A 则Ａ∩Ｂ= ]6

5,4[ππ

15．定义运算a b *为：a a b a b b a b ≤?*=?>?

，例如，121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域[－1] 16．给出下列四个函数：①sin y x =;②2y x =-;③lg y x =;④12x y ??= ???,对于其定义域内的任意的

()()()12121212,,22f x f x x x x x x x f ++??≠≥ ???

都有成立的函数为 ②③

三、解答题：本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）有四个正数,,,a b c d ，前三数成等比数列，其和为7；后三数成等差数列，其和为12．

（Ⅰ）求此四数；

（Ⅱ）分别求以,,a b c 为前三项的等比数列的前n 项和n T 与以,,b c d 为前三项的等差数列的 前n 项和n S ；

（Ⅲ）比较n T 与12

n S 的大小． 解：（Ⅰ）依题意有27122b ac a b c b c d c b d

?=?++=??++=??=+? 解得四数依次为1,2,4,6或9,6,4,14-，因为四数均为正数。所以所求四数依次为1,2,4,6

（Ⅱ）21n n T =-，2n S n n =+

（Ⅲ）当1,2n =时，12

n n T S = 当3n ≥时，()012211111n n

n n n n n n T C C C C =-=+-=++++- >0

121n n n C C C ++-222

n S n n +== 18．（本小题满分16分）已知函数x sin x cos x sin 2x cos )x (f 44-?-=.

（Ⅰ）求)x (f 的最小正周期及递减区间；

（Ⅱ）指出将函数cos y x =的图象经过怎样的变换而得到函数)x (f 的图象； （Ⅲ）若]2

,0[x π∈ , 求)x (f 最大值、最小值．

解：（Ⅰ）x 2sin )x sin x )(cos x sin x (cos )x (f 2222-+-= x 2sin x 2cos -=)4

x 2cos(2π+= ∴ π=T 递减区间3[,]()88

k k k Z ππππ-+∈ （Ⅱ）先把cos y x =各点的横坐标缩小到原来的21（纵坐标不变），再向左平移8

π个单位，再把

倍（横坐标不变）而得到函数)x (f 的图象 （Ⅲ）?π≤

≤2x 04

54x 24π≤π+≤π 当π=π+4x 2 即83x π=时 2)8

3(f min -=π 当44x 2π=π+ 即0x =时 1)0(f max =

19．（本小题满分14分）设}{n a 为公差大于0的等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项的和.

已知S 4=24，3532=a a

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）若}{,11

n n n n b a a b 求+=的前n 项和n T 解：（Ⅰ）24)(22

)(432414=+=+=a a a a S 由5,7,7,535

1232323232====???==+a a a a a a a a 或解得

,3,2,7,5,012332==-===∴>a a a d a a d 于是 12)1(23+=-+=∴n n a n

（Ⅱ）)3

21121(21)32)(12(1+-+=++=n n n n b n 9

6)]321121()7151()5131[(21+=+-+++-+-=∴n n n n T n

20．（本小题满分14分）已知：定义在R 上的函数f (x )为奇函数，且在[0,)+∞上是增函数. （Ⅰ）求证：f (x )在(,0)-∞上也是增函数；

（Ⅱ）对任意θ∈R ，求实数m 的取值范围，使不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+-> 恒成立. 解：（Ⅰ）证明：设)0,(,21-∞∈x x ，且21x x <，

则),0(,21+∞∈--x x ，且21x x ->-.

∵)(x f 在),0[+∞上是增函数，∴)()(21x f x f ->-.

又)(x f 为奇函数，∴12()()f x f x ->-,

∴)()(21x f x f <, 即)(x f 在)0,(-∞上也是增函数.

（Ⅱ）∵函数)(x f 在)0,(-∞和),0[+∞上是增函数，且)(x f 在R 上是奇函数，

∴)(x f 在),(+∞-∞上是增函数.

于是0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f ?)sin 2()32(cos θθ-->-m f f

?)2(sin )32(cos m f f ->-θθ?m 2sin 32cos ->-θθ

?2sin sin 222++>θθm ?161541sin 2

+??? ?

?+>θm . ∵当1sin =θ时，161541sin 2+??? ??+θ的最大值为52，∴当52m >时，不等式恒成立.