中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题含答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）；

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由．

（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

（4）若P为抛物线上一点，过P作PQ⊥BC于Q，在y轴左侧的抛物线是否存在点P使△CPQ∽△BCO（点C与点B对应），若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】（1）二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；；（2）最大值为1，此时N（-1，2）；

（3）M的坐标为（-1，0）或（50）或（-3

2

，0）；（4）点P的坐标为：（-1，

2）或（-7

3

，-

10

9

）．

【解析】

【分析】

（1）利用交点式求二次函数的解析式；

（2）求直线AC的解析式，作辅助线ND，根据抛物线的解析式表示N的坐标，根据直线AC的解析式表示D的坐标，表示ND的长，利用铅直高度与水平宽度的积求三角形ANC的面积，根据二次函数的最值可得面积的最大值，并计算此时N的坐标；

（3）分三种情况：当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，分别以三边为腰，画图形，求M的坐标即可；

（4）存在两种情况：①如图4，点P1与点C关于抛物线的对称轴对称时符合条件；

②如图5，图3中的M（-3

2

，0）时，MB=MC，设CM与抛物线交于点P2，则

△CP2Q∽△BCO，P2为直线CM的抛物线的交点．

【详解】

（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），

设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），

把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），

a=-1，

∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，

∴二次函数的解析式为：y=-x2-x+2；

（2）如图1，过N作ND∥y轴，交AC于D，设N（n，-n2-n+2），

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

把A（-2，0）、C（0，2）代入得：

20

2

k b

b

-+

?

?

?

＝

＝

，

解得：

1

2 k

b

?

?

?

＝

＝

，

∴直线AC的解析式为：y=x+2，

∴D（n，n+2），

∴ND=（-n2-n+2）-（n+2）=-n2-2n，

∴S△ANC

=

1

2

×2×[-n2-2n]=-n2-2n=-（n+1）2+1，

∴当n=-1时，△ANC的面积有最大值为1，此时N（-1，2），（3）存在，分三种情况：

①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；

②如图2，由勾股定理得：BC=22

25

1=

，

以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=5，此时，M2（1-5，0），M3（1+5，0）；

③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，

设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，

由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，

解得：x=3

2

，

∵M4在x轴的负半轴上，

∴M4（-3

2

，0），

综上所述，当B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，M的坐标为（-1，0）或

（1±5，0）或（-3

2

，0）；

（4）存在两种情况：

①如图4，过C作x轴的平行线交抛物线于P1，过P1作P1Q⊥BC，

此时，△CP1Q∽△BCO，

∴点P1与点C关于抛物线的对称轴对称，

∴P1（-1，2），

②如图5，由（3）知：当M （

-

32

，0）时，MB=MC ，设CM 与抛物线交于点P 2， 过P 2作P 2Q ⊥BC ，此时，△CP 2Q ∽△BCO ，

易得直线CM 的解析式为：y=43

x+2， 则2423

2

y x y x x ?=+???=--+?， 解得：P 2（-73

，-109）， 综上所述，点P 的坐标为：（-1，2）或（-

73

，-109）． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，计算量大，考查了利用待定系数法求函数的解析式、利用函数解析式求其交点坐标、三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，是一个不错的二次函数与几何图形的综合题，采用了分类讨论的思想，第三问和第四问要考虑周全，不要丢解．

2．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”．

(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；

(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；

(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；

(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）假；（2）223）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ；（4）P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）．

【解析】

分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；

（2）根据“抛物线三角形”定义得到22y x =-，由此可得出结论；

（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；

当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形， 由抛物线顶点为（b ，b 2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122

b b =?，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时． 详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；

（2）由题意得：22y x =-，令y =0，得：x

=，∴ S

=122?=12

x x ； （3）依题意：y ＝－x 2＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；

当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形． ∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2

122

b b =?，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．

（4）①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时．

∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，

∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0）， 则｜－a 2＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．

∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）．

②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．

∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，

∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0），

则｜－a 2－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．

∵a +2≠0，∴1a =， …… 此处隐藏：11922字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……