大学物理(上、下) 陈曙光 湖大出版上1-12

大学物理习题解答湖南大学应用物理系

第一章质点运动学

P26．

1．1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3．试求：

（1）第2s内的位移和平均速度；

（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s 内的路程；

（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度．

[解答]（1）质点在第1s末的位移大小为

x(1) = 6×12 - 2×13 = 4(m)．

在第2s末的位移大小为

x(2) = 6×22 - 2×23 = 8(m)．

在第2s内的位移大小为

Δx = x(2)– x(1) = 4(m)，

经过的时间为Δt= 1s，所以平均速度大小为

v=Δx/Δt = 4(m·s-1)．

（2）质点的瞬时速度大小为

v(t) = d x/d t = 12t - 6t2，

因此v(1) = 12×1 - 6×12 = 6(m·s-1)，

v(2) = 12×2 - 6×22 = 0，

质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即Δs = Δx = 4m．

（3）质点的瞬时加速度大小为

a(t) = d v/d t = 12 - 12t，

因此1s末的瞬时加速度为

a(1) = 12 - 12×1 = 0，

第2s内的平均加速度为

a= [v(2) - v(1)]/Δt = [0 – 6]/1 = -6(m·s-2)．[注意]第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒．

1．2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5

倍．试证加速度为

2

2(1)

(1)

n s

a

n t

-

=

+

．

并由上述数据求出量值．

[证明]依题意得v t = nv o，

根据速度公式v t = v o + at，得

a = (n– 1)v o/t，(1)

根据速度与位移的关系式v t2 = v o2 + 2as，得

a = (n2– 1)v o2/2s，(2)

（1）平方之后除以（2）式证得

2

2(1)

(1)

n s

a

n t

-

=

+

．

计算得加速度为

2

2(51)30

(51)10

a

-

=

+

= 0.4(m·s-2)．

1．3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5°的夹角的初速度65m·s-1从西边起跳，准确地落在坑的东边．已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g= 10m·s-2．问：

（1）矿

坑有多宽？

他飞越的时

间多长？

（2）他

在东边落地

时的速度？速度与水平面的夹角？

[解答]方法一：分步法．（1）夹角用θ表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为

v y0 = v0sinθ = 24.87(m·s-1)．

取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式

v t - v0 = at，

这里的v0就是v y0，a = -g；当他达到最高点

70m

22.5o

图1.3

1

2

时，v t = 0，所以上升到最高点的时间为

t 1 = v y 0/g = 2.49(s)．

再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式

v t 2 - v 02 = 2a s ，

可得上升的最大高度为

h 1 = v y 02/2g = 30.94(m)．

他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为

h 2 = h 1 + h = 100.94(m)．

根据自由落体运动公式s = gt 2/2，得下落的时间为

2

22h t g

== 4.49(s)． 因此他飞越的时间为

t = t 1 + t 2 = 6.98(s)． 他飞越的水平速度为

v x 0 = v 0cos θ = 60.05(m·s -1)，

所以矿坑的宽度为

x = v x 0t = 419.19(m)．

（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为

v y = gt = 69.8(m·s -1)，

落地速度为

v = (v x 2 + v y 2)1/2 = 92.08(m·s -1)，

与水平方向的夹角为

υ = arctan(v y /v x ) = 49.30o， 方向斜向下．

方法二：一步法．取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = v y 0t - gt 2/2，移项得时间的一元二次方程

2

01sin 02

gt v t y θ-+=， 解得

0220(sin sin 2)t v v gy g θθ=±-．

这里y = -70m ，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为

t = 6.98(s)．

由此可以求解其他问题．

1．4 一个正在沿直线行驶的汽船，关

闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v /d t = -kv 2，k 为常数．

（1）试证在关闭发动机后，船在t 时刻的速度大小为

11

kt v v =+； （2）试证在时间t 内，船行驶的距离为01

ln(1)x v kt k

=

+． [证明]（1）分离变量得

2d d v

k t v

=-， 积分 020

d d v

t

v v

k t v =-??，

可得

11

kt v v =+． （2）公式可化为0

01v v v kt

=+，

由于v = d x/d t ，所以

00001

d d d(1)1(1)

v x t v kt v kt k v kt =

=+++

积分

000

1

d d(1)(1)x

t

x v kt k v kt =++??

．

因此 01

ln(1)x v kt k

=

+． 证毕． [讨论]当力是速度的函数时，即f = f (v )，根据牛顿第二定律得f = ma ．

由于a = d 2x /d t 2， 而 d x /d t = v ， 所以 a = d v /d t ， 分离变量得方程

d d ()

m v

t f v =

， 解方程即可求解．

在本题中，k 已经包括了质点的质量．如果阻力与速度反向、大小与船速的n 次方成正比，则

d v /d t = -kv n ．

3

（1）如果n = 1，则得

d d v

k t v

=-， 积分得

ln v = -kt + C ．

当t = 0时，v = v 0，所以C = ln v 0，因此

ln v/v 0 = -kt ，

得速度为

v = v 0e -kt ．

而d v = v 0e -kt d t ，积分得

0e `kt v

x C k

-=+-．

当t = 0时，x = 0，所以C` = v 0/k ，因此

(1-e )kt v x k

-=

． （2）如果n ≠1，则得d d n v

k t v

=-，积分得

11n

v kt C n

-=-+-． 当t = 0时，v = v 0，所以

10

1n v C n

-=-，因此 1

10

11(1)n n n kt v

v

--=

+-．

如果n = 2，就是本题的结果． 如果n ≠2，可得

1

(2)/(1)02

0{[1(1)]1}

(2)n n n n n v kt x n v k

----+--=-， 读者不妨自证．

1．5 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示：θ = 2 + 4t 3．求：

（1）t = 2s 时，它的法向加速度和切向加速度；

（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？

（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？

[解答]（1）角速度为

ω = d θ/d t = 12t 2 = 48(rad·s -1)，

法向加速度为

a n = rω2 = 230.4(m·s -2)；

角加速度为

β = d ω …… 此处隐藏：25555字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……