人教版八年级上册数学 全等三角形单元培优测试卷

人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷

一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）

1．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长

_________ .

【答案】3

【解析】

【分析】

过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明

CAI?BAJ ，求出°

7830

∠=∠=，然后求出

1

2

IF FJ AF

==，，通过设FJ x

=求出x，即可求出AF的长.

【详解】

解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J

在CAE和BAD中

AC AB

CAE BAD

AE AD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴CAE?BAD

∴ICA ABJ

∠=∠

∴BFE CAB

∠=∠（8字形）

∴°

120

CFD

∠=

在CAI和BAJ中

°90

ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠??∠=∠=??=?

∴CAI ?BAJ

,AI AJ CI BJ ==

∴°60CFA AFJ ∠=∠=

∴°30FAI FAE ∠=∠=

在RtAIF 和RtAJF 中

°30FAI FAE ∠=∠=

∴12

IF FJ AF ==

设FJ x = 7,4CF BF ==

则47x x +=-

3

2x ∴=

2AF FJ =

AF ∴=

3

【点睛】

此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.

2．如图，在ABC ?中，AB AC =，点D 和点A 在直线BC 的同侧，

,82,38BD BC BAC DBC =∠=?∠=?，连接,AD CD ，则ADB ∠的度数为__________．

【答案】30°

【解析】

【分析】

先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及角的和差求出ABD

∠的度数，然后作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DB，

∠BEA=∠BDA，进而可得∠EBC=60°，由于BD=BC，从而可证△EBC是等边三角形，可得

∠BEC=60°，EB=EC，进一步即可根据SSS证明△AEB≌△AEC，可得∠BEA的度数，问题即得解决．

【详解】

解：∵AB AC

=，82

BAC

∠=?，∴

180

49

2

BAC

ABC

?-∠

∠==?，

∵38

DBC

∠=?，∴493811

ABD

∠=?-?=?，

作点D关于直线AB的对称点E，连接BE、CE、AE，如图，则BE=BD，∠EBA=∠DBA=11°，∠BEA=∠BDA，

∴∠EBC=11°+11°+38°=60°，

∵BD=BC，∴BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴∠BEC=60°，EB=EC，

又∵AB=AC，EA=EA，

∴△AEB≌△AEC（SSS），∴∠BEA=∠CEA=

1

30

2

BEC

∠=?，

∴∠ADB=30°．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，难度较大，作

点D关于直线AB的对称点E，构造等边三角形和全等三角形的模型是解题的关键．3．如图，BD是ABC的角平分线，AE BD

⊥，垂足为F，且交线段BC于点E，连结DE，若50

C

∠=?，设ABC x CDE y

∠=?∠=?

,，则y关于x的函数表达式为

_____________．

【答案】80

y x

=-

【解析】

【分析】

根据题意，由等腰三角形的性质可得BD是AE的垂直平分线，进而得到AD＝ED，求出BED

∠的度数即可得到y关于x的函数表达式．

【详解】

∵BD是ABC

?的角平分线，AE BD

⊥

∴

11

22

ABD EBD ABC x

∠=∠=∠=?，90

AFB EFB

∠=∠=?

∴

1

90

2

BAF BEF x

∠=∠=?-?

∴AB BE

=

∴AF EF

=

∴AD ED

=

∴DAF DEF

∠=∠

∵180

BAC ABC C

∠=?-∠-∠，50

C

∠=?

∴130

BAC x

∠=?-?

∴130

BED BAD x

∠=∠=?-?

∵CDE BED C

∠=∠-∠

∴1305080

y x x

?=-?-?=?-?

∴80

y x

=-，

故答案为：80

y x

=-．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．

4．已知如图，每个小正方形的边长都是123

1,,, ....

A A A都在格点上，

123345567

,, ....

A A A A A A A A A都是斜边在x轴上，且斜边长分别为2,4,6,.的等腰直角三

角形.若123

A A A

△的三个顶点坐标为()()()

123

2,0,1,1,0,0

A A A

-,则依图中规律,则

19

A的坐标为 ___________

【答案】()

8,0

-

【解析】

【分析】

根据相邻的两个三角形有一个公共点，列出与三角形的个数与顶点的个数的关系式,再求出A19所在的三角形,并求出斜边长.然后根据第奇数个三角形，关于直线x=1对称,第偶数个三角形关于直线x=2对称,求出OA19,写出坐标即可.

【详解】

解：设到第n个三角形顶点的个数为y

则y=2n+1,当2n+1=19时,n=9,

∴A19是第9个三角形的最后一个顶点,

∵等腰直角三角形的斜边长分别为2,4,6....

∴第9个等腰直角三角形的斜边长为2×9=18,

由图可知,第奇数个三角形在x轴下方,关于直线x=1对称,

∴OA19=9-1=8,

∴19

A的坐标为()

8,0

-

故答案是()

8,0

-

【点睛】

本题考查点的坐标变化规律,根据顶点个数与三角形的关系，判断出点A19所在的三角形是解题关键

5．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_____________

【答案】2.25或3

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，

BP=CP=1

2

BC=

1

2

×9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若

△BPD≌△CQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出

96

3

vt

vt t

?

?

-

?＝

＝

，解得：v=3．

【详解】

解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，∴BD=6厘米，

若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=1

2

BC=

1

2

×9=4.5（厘米），

∵点Q的运动速度为3厘米/秒，

∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），

∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；

若△BPD …… 此处隐藏：10461字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……