【精选】北师大版八年级上册数学 三角形解答题检测题(WORD版含答

【精选】北师大版八年级上册数学

三角形解答题检测题（WORD版含答案）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：

(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是；

(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；

(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.

【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠HDG＝

∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1

2

x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得

∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠EB H＝∠AB E=1 2 x,

则∠DGE=90°+1

2

x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=

1

2

（180°-x），所以

∠CDF+∠HDC=1

2

（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；

（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可

得：∠EDF＝∠EBF=1

2

（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出

∠BED=90°，完成证明.【详解】

解：（1）BE⊥DE，理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

设∠HDC＝∠AB H=x

∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E ∴∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=

1

2

x

又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE

∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

（2）

DF∥AB,理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

∵BE平分∠ABH，

∴∠EB H＝∠AB E=

1

2

x

∴∠DGE=90°+

1

2

x

∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM

∴∠CDF=1

2

（180°-x）=90°-

1

2

x

∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-1

2

x+x=90°+

1

2

x

∴∠DGE=∠HDF

∴DF∥AB

（3）

BE⊥DE，证明如下：

设∠BFA＝∠CFD=x,

∵∠A＝∠C＝90°

∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，

∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E

∴∠EDF＝∠EBF=1

2

（90°+x）

又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x

∴∠BFD=360°-1

2

（90°+x）-

1

2

（90°+x）-（180°-x）=90°

即BE⊥DE

【点睛】

本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.

2．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究一：如图1．在△ABC 中，已知O

是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过

分析发现1902

BOC A ?

∠=+∠．理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，

∴112ABC ∠=∠，122

ACB ∠=∠； ∴()0011112()18090222ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=-∠=-∠， ∴11180(12)180909022BOC A A ?????

?∠=-∠+∠=--∠=+∠ ???

（1）探究二：如图2中，已知O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？并说明理由．

（2）探究二：如图3中，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？

【答案】（1）12BOC A ∠=

∠，理由见解析；（2）1902BOC A ?∠=-∠． 【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠OBC =12∠ABC ，∠OCD =12

∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得

∠OCD =12∠ACD =12

∠A +∠OBD ，∠BOC =∠OCD -∠OBC ，然后整理即可得解；

（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；

【详解】

（1）12

BOC A ∠=∠，理由如下： ∵BO 和CO 分别是ABC ∠与ACD ∠的平分线，

∴

1

2

OBD ABC

∠=∠，

1

2

OCD ACD

∠=

∠，

又∵ACD

∠是ABC的一个外角，

∴

11

22

OCD ACD A OBD

∠=∠=∠+∠，

∵OCD

∠是BOC的一个外角，

∴

11

22

BOC OCD OBD A OBD OBD A

∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠

即

1

2

BOC A

∠=∠

（2）∵BO与CO分别是∠CBD与∠BCE的平分线，

∴∠OBC=

1

2

∠CBD，∠OCB=

1

2

∠BCE

又∵∠CBD与∠BCE都是△ABC的外角，

∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，

∴∠OBC=

1

2

∠CBD=

1

2

（∠A+∠ACB），∠OCB=

1

2

∠BCE=

1

2

（∠A+∠ABC），

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）

∴

1

90

2

BOC A

?

∠=-∠

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．

3．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

(1)求证：∠A+∠C＝∠B+D；

(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．

①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个；

②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数；

③若角平分线中角的关系改为“∠CAP＝

1

3

∠CAB，∠CDP＝1

3

∠CDB”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．

【答案】(1)证明见解析；(2)①3， 4；②∠P＝110°；③3∠P＝∠B+2∠C，理由见解析.【解析】

【分析】

(1)由三角形内角和得到∠A+∠C=180°﹣∠AOC，∠B+

∠

D=180°﹣∠

BOD，

由对顶角相等，得到∠AOC=∠BOD，因而∠A+∠C=∠B+∠D；

(2)①以线段AC为边的“8字形”有3个，以O为交点的“8字形”有4个；

②根据(1)的结论，以M为交点“8字型”中，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP，两等式相加得到

2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，由AP和DP是角平分线，得到

∠BAP＝∠CAP，∠ …… 此处隐藏：11513字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……