2017年云南财经大学专业综合面试之数学分析复试仿真模拟三套题

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2017年云南财经大学专业综合面试之数学分析复试仿真模拟三套题（一） (2)

2017年云南财经大学专业综合面试之数学分析复试仿真模拟三套题（二） (10)

2017年云南财经大学专业综合面试之数学分析复试仿真模拟三套题（三） (17)

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2017年云南财经大学专业综合面试之数学分析复试仿真模拟三套题（一）

说明：本资料为2017复试学员内部使用，严格按照2017复试常考题型及难度全真模拟预测。 ————————————————————————————————————————

一、解答题

1． 求边长为a 密度均匀的立方体关于其任一棱边的转动惯量.

【答案】如图求

设密度为

则

图

2． (1)求表面积一定而体积最大的长方体；

(2)求体积一定而表面积最小的长方体. 【答案】(1)设长方体的长、宽、高分别为表面积为

则体积为

限

制条件为：

令

解得

因所求长方体体积的最大值，且稳定点只有一个，所以最大值故表面积一

定而体积最大的长方体是正立方体.

(2)

设长方体的长、宽、高分别为体积为v ,

则表面积

限制条件

设

令

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解得

故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.

3． 求空间曲线

上对应于点x=l 的处的切线方程与法平面方程. 【答案】当x=l 时，有

解之得于是对应于X=1的点是

设

通过计算易知，

在点

有

于是，切线方程和法平面方程分别为：

和

在点

有

于是，切线方程和法平面方程分别为：

和

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4． 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.

【答案】设三角形的三边分别为则面积，

且

因此

其中 因S 与

有相同的稳定点，考虑

解方程组

得

从而

又在D 的边界上从而S 在处取得最大值，因而

面积最大的三角形为边长为的等边三角形，面积

5． 计算第二型曲面积分

(1)

(2)S 是不含原点在其内部的光滑闭曲面； (3)S 是含原点在其内部的光滑闭曲面。 【答案】 (1)

(2)

所以

(3)由于函数P , Q , R 及其偏导数在S 所围区域上不连续(在原点处不连续)，为此作半径充分