1990年考研数学三真题及全面解析

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)

(1)

极限n →∞

=_________. (2) 设函数()f x 有连续的导函数,(0)0,(0)f f b '==,若函数

()sin ,0,(),0f x a x x F x x A x +?≠?=??=?

在0x =处连续,则常数A =___________.

(3) 曲线2

y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________. (4) 若线性方程组12123234

3414

,,,x x a x x a x x a x x a +=-??+=??+=-??+=?有解,则常数1234,,,a a a a 应满足条件________. (5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081

,则该射手的命中率为________.

二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,

把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 设函数sin ()tan x f x x x e =??,则()f x 是 ( )

(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数

(2) 设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x af x +=,且有(0),f b '=其中,a b 为非零常

数,则 ( )

(A) ()f x 在1x =处不可导 (B) ()f x 在1x =处可导,且(1)f a '=

(C) ()f x 在1x =处可导,且(1)f b '= (D) ()f x 在1x =处可导,且(1)f ab '=

(3) 向量组12,,

,s ααα线性无关的充分条件是 ( ) (A) 12,,,s ααα均不为零向量

(B) 12,,

,s ααα中任意两个向量的分量不成比例 (C) 12,,

,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示 (D) 12,,,s ααα中有一部分向量线性无关

(4) 设,A B 为两随机事件,且B A ?,则下列式子正确的是 ( )

(A) ()()P A B P A += (B) ()()P AB P A = (C) ()

()P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=-

(5) 设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布为

则下列式子正确的是 ( )

(A) X Y = (B) {}0P X Y ==

(C) {}12P X Y ==

(D) {}1P X Y ==

三、计算题(本题满分20分,每小题5分.)

(1) 求函数2ln ()21x e t I x dt t t =-+?在区间2[,]e e 上的最大值. (2) 计算二重积分

2y D xe dxdy -??,其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区

域. (3) 求级数21(3)n

n x n ∞

=-∑的收敛域. (4) 求微分方程sin cos (ln )x y y x x e

-'+=的通解.

四、(本题满分9分) 某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下经验公式:

221212121514328210.R x x x x x x =++---

(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；

(2) 若提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.

五、(本题满分6分)

设()f x 在闭区间[0,]c 上连续,其导数()f x '在开区间(0,)c 内存在且单调减少；(0)0f =,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f a b f a f b +≤+,其中常数a b 、满足条件0a b a b c ≤≤≤+≤.

六、(本题满分8分)

已知线性方程组

12345123452

34512345,3230,226,54332,

x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? (1) a b 、为何值时,方程组有解

(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系；

(3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.

七、(本题满分5分)

已知对于n 阶方阵A ,存在自然数k ,使得0k A =,试证明矩阵E A -可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵).

八、(本题满分6分)

设A 是n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值,12,X X 是分别属于1λ和2λ的特征向量.试证明12X X +不是A 的特征向量.

九、(本题满分4分)

从0,1,2,,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：

1A ={三个数字中不含0和5}；2A ={三个数字中不含0或5}.

十、(本题满分5分)

一电子仪器由两个部件构成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数为:

0.50.50.5(),0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+?-+≥≥=??

1-若其他. (1) 问X 和Y 是否独立

(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率α.

十一、(本题满分7分)

某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

[附表]

表中()x Φ是标准正态分布函数.

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)

(1)【答案】2

【解析】对原式进行分子有理化,

n n →∞=

n =,

,有 原式

n =. 因为lim 0

n =,其中a 为常数,所以原式4 2.11==+ (2)【答案】b a +

【解析】由于()F x 在0x =处连续,故0(0)lim ()x A F F x →==.

0lim ()x F x →为“00

”型的极限未定式,又()f x 在点0处导数存在,所以 00()sin ()cos lim lim 1

x x f x a x f x a x A b a x →→'++===+. 【相关知识点】函数()y f x =在点0x 连续：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义,如果0

0lim ()(),x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续.(3)【答案】142

【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22x x =+,

解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示:

所求面积为 ()2

2

12S x x dx -=+-? 223111124.2

32x x x -??=+-= ??? (4)【答案】12340a a a a +++= 【解析】由于方程组有解()()r A r A ?=,对A 作初等行变换,

第一行乘以()1-加到第四行上,有

11223341411001 100

01100 11000110 011 10010101a a a a a a a a a --????????????→????--????+-????, 第二行加到第四行上,再第三行乘以()1-加到第四行上,有

11

2233123412411001100011011000111100110a a a a a a a a a a a a a --????????????→→????--????+++++????. 为使()()r A r A =,常数1234,,,a a a a 应满足条件:12340a a a a +++=.

【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：

设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,

亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).

设A 是m n ?矩阵,线性方程组Ax b =,则

（1） 有唯一解 ? ()().r A r A n == …… 此处隐藏：10877字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……