二次函数最值问题总结

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二次函数的最值问题

二次函数y ax2bx c ( a 0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基

础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当a0 时，

函数在 x b处取得最小值4ac b2，无最大值；当 a0时，函数在 x b

处取得

2a4a2a 4ac b2

，无最小值．

最大值

4a

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

二次函数求最值（一般范围类）

例 1．当 2 x 2时，求函数

y x22x 3 的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当x 1时，

y min4，当 x 2 时，y max5．

例 2．当1 x 2时，求函数yx2x 1 的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当 x 1时，y min 1 ，当x 2时， y max5 ．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

例 3．当x0 时，求函数y x(2x) 的取值范围．

资料

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解： 作出函数 y x(2

x)

x 2 2x 在 x

0内的图

象．

可以看出：当 x 1时，

y min 1 ，无最大值．

所以，当 x 0 时，函数的取值范围是 y

1 ．

例 4． 当 t

x

t 1 时，求函数 y

1 x

2 x 5 的最小值 (其中 t 为常数 )．

2

2

分析： 由于 x 所给的范围随着

t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位

置．

解： 函数 y

1 x

2 x

5 的对称轴为 x 1．画出其草图．

2

2

1 t 2

5

(1) 当对称轴在所给范围左侧．即

t 1时： 当 x

t 时， y min

t ；

t

1

t 1 0 t 1

2

2

(2) 当对称轴在所给范围之间．即

时：

当 x 1 时， y min 1 12 1 5 3；

2 2

(3) 当对称轴在所给范围右侧．即

t 1 1 t 0 时：

当 x t

1 时， y min

1

(t 1)2 (t

1)

5 1 t 2 3 ．

2

2 2

1 t

2 3,t 0

2

综上所述： y3,0 t 1

1 t

2 t

5

, t 1

2

2

在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：

二次函数求最值 ( 经济类问题 )

例 1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定

对购买彩电的农户实行政府补贴． 规定每购买一台彩电， 政府补贴若干元， 经调查某商场销售彩

电台数 y （台）与补贴款额 x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补

贴款额 x 的不断增大， 销售量也不断增加， 但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且 Z 与 x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

资料

..

（ 1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

（ 2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数

y 和每台家电的收益 Z 与

政府补贴款额 x 之间的函数关系式；

（ 3）要使该商场销售彩电的总收益 w （元）最大，政府应将每台补贴款额 x 定为多少？并求出总收益 w 的最大值．

分析：（ 1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为

800 台，每台彩电的收益为

200 元；（ 2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式； （ 3）商场销售彩电的总收益

＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（ 2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次

函数的最大值 .

解：（ 1）该商场销售家电的总收益为 800 200 160000 （元）；

（ 2 ） 依 题 意 可 设 y

k x 800，Z

k x

200 ，

有 400k

1 800 1200 ，

1

2

200k 2 200 160 ，解得 k 1 1， k 2

1 ．所以 y x 800 ， Z

1 x 200 ．

5

5

（3）W

yZ

(x 800)

1 x 200

1

( x 100) 2

162000 ，政府应将每台补

5

5

贴款额 x 定为 100 元，总收益有最大值，其最大值为

162000 元．

说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼

.

例 2．凯里市某大型酒店有包房

100 间，在每天晚餐营业时间，

每间包房收包房费 100

元时， 包房便可全部租出；若每间包房收费提高

20 元，则减少 10 间包房租出，若每间包房

收费再提高 20 元，则再减少 10 间包房租出，以每次提高

20 元的这种方法变化下去 .

（ 1）设每间包房收费提高 x （元），则每间包房的收入为 y 1（元），但会减少 y 2 间包房租出，请分别写出 y 1、y 2 与 x 之间的函数关系式 .

（ 2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y （元），请写出 y 与 x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由 .

分析：（ 1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房费

+每间包房收包房提高费，包

房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一半；

（ 2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后

每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求

y 取得最大值时 x 的值 .

解：（ 1） y 1

100 x ， y 2

1

x ；

2

（ 2） y (100 x) (100

1

x) y

1

( x 50) 2 11250 ，因为提价前包房费总收入

2

2

为 100× 100=10000，当 x=50 时，可获最大包房收入 11250 元，因为 11250>10000 又因为每

次提价为 20 元，所以每间包房晚餐应提高 40 元或 60 元 .

说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房， 所以每间包房晚餐应提高

60 元应该更好 .

例 3．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，

对历年市场行情和水

产 …… 此处隐藏：4367字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……