初中奥数系列：4.1.1实数基本概念及化简(数的开方).讲义学生版

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板块一 平方根、立方根、实数

实数可按下图进行详细分类：

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正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 实数与数轴上的点一一对应.

(以下概念均在实数域范围内讨论) 平方根的定义及表示方法：

如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“”．

算术平方根：

一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）

一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥0≥.

平方根的计算：

中考要求

知识点睛

数的开方

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求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．

开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．

通过验算我们可以知道：

⑴当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)．

⑵平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：

①若0a ≥

，则2a =；②不管a

(0)||(0)a a a a a ≥?=?-

注意二者之间的区别及联系．

⑶若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，

之

间，即：0≤

立方根的定义及表示方法：

如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表

，其中“3”叫做根指数，不能省略.

前面学习的

其实省略了根指数“2”

“三次根号a ”

“二次根号a ”

“根号a ”.

任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，

正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.

立方根的计算：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．

通过归纳我们可以知道：

⑴当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．

a =

，3a =

⑶若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<，

利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围．

一、实数的概念

【例1】

在实数010.1235中无理数的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【例2】 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为64时，输出的y 是（ ）

输出y

输入x 例题精讲