解析几何答案苏大第四版

第1章 矢量与坐标

§1.1 矢量的概念

1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？

（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；

（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；

（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；

（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.

[解]：（1）单位球面； （2）单位圆

（3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心， 在矢量OA 、、 OC 、、、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、 和中，哪些矢量是相等的？

[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中， 相等的矢量对是： 图1-1

C .DE OF C

D O

E AB OC FA OB E

F OA 和；和；和；和；和

3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边

ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD

是空间四边形时，这等式是否也成立？

[证明]：如图1-2，连结AC , 则在ΔBAC 中， 21AC. KL 与方向相同；在ΔDAC 中，2

1AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝

.

4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面

体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互

为相反矢量的矢量：

(1) AB 、;

(2) AE 、;

(3) 、

; (4) AD 、; . BE 、(5) [解]：相等的矢量对是

（2）、（3）和（5）；

互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。

§1.3 数量乘矢量

D

b a ,应满足什么条件？

1.要使矢量

下列各式成立，?=

++=+

（2（1

?+ （4?=（3+=

（5

??

=[解]

：=+b a 的直,所在线（1）；

+=+b a , （2）

≥且 （3b a ,=

+

反向时b a , （4）+=

（5

）≥?=?

b a ,AL , BM , 2. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量可 以构成一个三角形.

[证明]： )(2

1+=∵ )(2

1BC BA BM += )( 2

1+= 0)(1++++=++ 2

=+∴CB A 从而三中线矢量C BC BA AC AB CN BM AL CN BM AL ,,构成一个三角形。 N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明

3. 设L 、M 、OB OA ++OC =OL ++. LA OL OA +=∵

[证明] += NC ON OC +=

)(=++ +++++∴ =)(ON OM OL ?++CN BM AL ++ 由上题结论知：0=++

ON OM OL OC OB OA +++=+∴

4. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.

[证明]

：如图1-4，在平行四边形ABCD 中，O 但 BC AD OB

OC BC OA

OD AD +=+?=?=?=?=∵

∴

)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 不平行于BD 而AC ， 由于∴0=+=+OB OD OC OA ，

从而OA=OC ，OB=OD 。

M 行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明

5. 如图1-5，设是平OA +OB +OC +＝4.

[证明]：因为＝

2

1(OA +OC ),

图1-5 ＝2

1(OB +), 所以 2＝

2

1(OA ++OC +OB ) 所以

OA +OB +OC +＝4.

6. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明:

＝0 .

1OA +2OA +…+n OA [证明]

：因为 3OA ＝λ2OA ,

1OA ＋2OA ＋4OA ＝λ3OA ,

……

1?n +1OA O λn A ＝OA ,

n OA ＋2A λO ＝1OA , 21OA +OA …+所以 2(+n )

OA 1OA +2OA +…+n OA ), ＝λ(0 .

1OA 2OA +n OA 所以 (λ)(－2++…)＝显然 λ≠2, 即 λ－2≠0. 所以 1OA +2OA +…+n A ＝0 O .

§1. 矢量的线性关系与矢量的分解

4

1. 设一直线上三点A , B , P AP ＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：

满足＝

λ+OB OA OP λ

+1 [证明]：如图1因

-7，为OA ,

AP ＝－OB PB ＝,

－－OA ＝λ (OB －所以 ),

λ＝+λ, )OP (1+

＝

λ

λ+OB

OA .

OP 从而 +11＝2e AB e 2. 在△ABC 中，设＝，，AT 是角A 的平它BC AT 分解为1e ,2e 分线（与交于T 点）

，试将图1-8

的线性组合. [解]：因为

|

|e ||TC ||11e ,

且 BT 与方向相同， 所以 |1BT . |2e 由上题结论有

|

|12e ||1

1e e |

|2

21e e e +||||211221e e +.

3. 用矢量法证明：

P △ABC 充要条件是

是重心的＝0

.++ [证明]：“”P △的重心，则

? 若为ABC ＝2＝P

+, 从而 PA +PB －=0

,

即 PA +PB ＋=0

.

“”

若?PA +PB ＋=0

, ＝－PC ＝CP ,

+则取E ，G 分别为AB F ，，BC ，CA 之中点，则有

PE ＝

1

(+PA 2

PB ). 从而CP ＝2.

, BP ＝2AP ＝2.故P 同理可 证为△ABC 的重心.

4. 证明三个矢量a ＝－1e 3+2e +23e , b ，c

＝41e －62e +23e +122e ＝－31e ＋113e 共面，

其中能否用b ,

性示如能表，写出线表示关系式. 线表？示性1e 2e , 3e 不共面，即它们线性无关. [证明]：由于矢量,

考表式虑达 λ+μb +v ＝0

，即

λ (－+32e －62e +122e 1e +23e )+μ (41e +23e )+v (－31e ＋113e )＝,

或 (－λ+4μ－3v ) 0

.

1e +(3λ－6μ＋12v ) 2e +(2λ+2μ＋11v ) 3e ＝1e , 2e , 3e 由于线性无关，故有

解得 λ＝－10，μ＝－1，v ＝2.

≠0，所以??

?=+==?+?.01122,0,034v v v μμλ ?

?1263μλ＋

－+λa

由于 λ＝－10能用b ,c 线性表示

b a ＋51

c . ＝－110是三个两两不共线的矢量，且,, OC ＝λOA +μOB 5. 如图1-10，，试证A , B , C 三点共线μ＝[证明]：“B 共线，从而有

的充要条件是λ+

1.

图1-10

? ”因为 A ，，C ,

AC //,且有≠－1, 使m ＝m

OC ＝m (OB －OC －),

OB ＋m (1+m ), ＝OC ＝m +11＋m m OB . +1但已知＝λ＋μO , OB

B . 由O

C 对分解的唯一性可得

λ＝

m +11, μ＝m

m + 从而 μ＝1m m λ+m +11++11 设＝＝. “λ+μ 1. 则有OC ＋μOB ＋(1－λ)OB ＝λ＝λ?”－=+λ(),

－－＝λ(),

所以 ＝λBA ,

//BA .

从而 故 A ，B ，C 三点共线.

§1.5 标架与坐标

1. 在空间直角坐标系{O ;k j i ,,}下，求P (2,－3,－1)，M (a , b , c )关于

(的坐标.

[解]：

称点坐标为(a ,－b , c )，

c x 坐标为(a ,－b ,－c )，

, , b (类似考虑P 1)即可.

2. 已知矢量1) 坐标平面 …… 此处隐藏：14117字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……