专升本《高等数学》试题和答案

安徽省2012年普通高等学校专升本招生考试

高等数学

注意事项：

1．试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。

2．答题前将密封线内的项目填写完整。

一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）

1.若函数?????>+≤=0,sin 0,3)(x a x

x x e x f x 在0=x 在处连续，则=a （ C ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

解：由)0()00()00(f f f =-=+得231=?=+a a ,故选C.

2.当0→x 时，与函数2)(x x f =是等价无穷小的是（ A ）

A. )1ln(2x +

B. x sin

C. x tan

D. x cos 1-

解：由11ln(lim 1ln()(lim )

22

0)20=+=+→→x x x x f x x ,故选A. 3.设)(x f y =可导，则'-)]([x e f =（ D ）

A. )(x e f -'

B. )(x e f -'-

C. )(x x e f e --'

D. )(x x e f e --'-

解：)()()()]([x x x x x e f e e e f e f -----'-='?'=',故选D.

4.设x 1是)(x f

的一个原函数，则?=dx x f x )(3（ B ） A. C x +22

1 B. C x +-221 C. C x +331 D. C x x +ln 414 解：因x 1是)(x f

的一个原函数,所以211)(x x x f -='??? ??=,所以 C x xdx dx x f x +-=-=??232

1)(

故选B. 5.下列级数中收敛的是（ C ）

A. ∑∞=-1374n n n

n B. ∑∞=-1231n n C. ∑∞=132n n

n D. ∑∞=121sin

n n

解：因121)1(lim 212

2)1(lim 33313

<=+=+∞→+∞→n n n n n n n n ,所以∑∞=132n n n 收敛, 故选C.

6.交换?

???+=

10

2121

1

21),(),(y y

y

dx y x f dy dx y x f dy I 的积分次序，则下列各项正确的

是（ B ） A. ??

1

22

),(x

x dy y x f dx B.

??

10

22

),(x x dy y x f dy C.

?

?2

1

22

),(x x dy y x f dx D.

?

?

2

1

22

),(x x dy y x f dx

解：由题意画出积分区域如图:故选B.

7.设向量21,αα是非齐次线性方程组AX =b 的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（ D ） A.

21αα+ B. 21αα- C. 212αα+ D. 212αα-

解：因,2)(2121b b b A A A =+=+=+αααα同理得

,0)(21=-ααA ,3)2(21b A =+αα,)2(21b A =-αα

故选D.

8.已知向量)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321--==-=αααk 线性相关,则=k （ D ）

A. -2

B. 2

C. -3

D. 3

解:????? ??+--+--→????? ??---+--→????? ?

?---=????? ??03002240112125402240112125400021121321k k k k ααα 由于123,,ααα线性相关,所以123(,,)2r ααα≤,因此3=k

9.设B A ,为事件，且,2.0)(,4.0)(,6.0)(===AB P B P A P 则=)(B A P （ A ）

A.0.2

B. 0. 4

C. 0.6

D. 0.8

解:

2.0)]()()([1)(1)()(=-+-=+-=+=AB P B P A P B A P B A P B A P 10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（ B ）

A. 163

B. 207

C. 41

D. 2

1 解: 由全概率公式得20

751415243=?+?=p

二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)

11．设函数216131arcsin x

x y ---=，则函数的定义域为)4,2[-. 解：424

442016,13112<≤-????<<-≤≤-?>-≤-≤-x x x x x .

12．设曲线22-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3,则点M 的坐标是)0,1(. 解：12+='x y ，由1312=?=+='x x y ，从而0=y ，故填)0,1(.

13．设函数x x y arctan =，则=''y 22)

1(2x +. 解：2

1arctan x x x y ++=',2222222)1(2)1(2111x x x x x y +=+-+++=''. 14

．=+?

dx x x 2012)1(ln C x ++2013)1(ln 2013. 解：

C x x d x dx x x ++=++=+??2013)1(ln )1(ln )1(ln )1(ln 201320122012.

15．

=?∞++-dx xe x 01= e . 解：e dx xe e dx xe x x ==??+∞-∞

++-001.

16．幂级数∑∞=-15

)2(n n n

n x 的收敛域为)7,3[-. 解：由152215lim 5)2(15)2(lim )()(lim 11

1<-=-+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n

x n x x u x u n n n n n n n

n n . 得73<<-x 级数收敛,

当3-=x 时,级数为∑∞

=-1)1(n n n 收敛; 当7=x 时,级数为∑∞=11n n 发散; 故收敛域为)7,3[-.

17．设A 是n 阶矩阵，E 是n 阶单位矩阵，且，032=--E A A 则=--1)2(E A E A +. 解：

)()2())(2(0312E A E A E E A E A E A A +=-?=+-?

=---

18．设????

? ??-=10010

1110A ，记1-A 表示A 的逆矩阵, *A 表示A 的伴随矩阵,则 =-*1)(A ????

? ??----100101110.

19．设型随机变量),8,1(~N X 且),()(c X P c X P ≥=<则c =

1. 解：由正态分布的对称性得1==μc .

20．设型随机变量X 在区间]4,2[上服从均匀分布,则方差=

)(X D 31

. 解：直接由均匀分布得3

112)24()(2=-=X D .

三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。

21．计算极限x

x x x 20tan sin lim

-→. 解：原式= 20sin lim x x x x -→ =x

x x 2cos 1lim 0-→ =2sin lim

0x x →=0.

22．求由方程xy y x =确定的隐函数的导数

dx dy . 解：两边取对数得y x y x ln ln ln +=,

两边求导得y y

x y y x y '+='+11ln , 从而)

1()ln 1(--=x x y x y dx dy . 23．计算定积分?-2

22211dx x x

解：令t x sec =,则,tan sec tdt t dx =当2=x 时, 4π=

t ;当2=x 时, 3π=t . 所以原式= ?342tan sec tan sec ππdt t t t t = ?34cos ππtdt = =|34sin ππt = )23(21-.

24．求微分方程02=--'x e y y 的通解.

解：原方程可整理为x e y y =-'2

这是一阶线性微分方程,其中x

e x Q x P =-=)(,2)(.

所以原方程的通解为

??????+??

=?-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()( )(22C dx e e e dx x dx +??=?-.

)(2C dx e e x x +

=?-)(2C e e x x +-=-

x x Ce e 2+-=

25．计算二重积分??D yd x

σ2,其中D 是由直线222===xy x y x 和、所围成的区

域.

解：区域D 如图阴影部分所示.

故??D yd x σ2??=x

x

y y x x 22221d d

?=212222d 21|y y x x x ?-=214)d 44(2

1x x |215

)252(x x -=5

210=.

26．设矩阵????? ??---=320031

10

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