2015中考数学真题分类汇编：二次函数(压轴题)

26．（13分）（2015?福州）如图，抛物线y=x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q．

（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ =S△PAQ，求m的值；

（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD?DQ的最大值．

PH=

a=）

，得出

1

==，

==

OA

OA=2

=

PH=

，

6

DQ

a=

，

2

3

4

25．（10分）（2015?莆田）抛物线y=ax +bx+c ，若a ，b ，c 满足b=a+c ，则称抛物线y=ax +bx+c 为“恒定”抛物线．

（1）求证：“恒定

”抛物线y=ax 2+bx+c 必过x 轴上的一个定点A ；

（2）已知“恒定”抛物线y=x 2﹣的顶点为P ，与x 轴另一个交点为B ，是否存在以Q

为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四x 的顶点坐标和QM=OP=﹣OQ=OP=+x ，时，﹣，，﹣QM=OP=

）

﹣

，

y=

x x+3；

，

）

，

﹣+

x x+3﹣．

5

6

抛物线y=x 2

上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．

问题解决

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y 轴交于C 点，与函数y=x 2的图象交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作直线y=﹣1的垂线，交于E ，F 两点．

（1）写出点C 的坐标，并说明∠ECF=90°；

（2）在△PEF 中，M 为EF 中点，P 为动点．

①求证：PE 2

+PF 2=2（PM 2+EM 2）；

②已知PE=PF=3，以EF 为一条对角线作平行四边形CEDF ，若1＜PD ＜2，试求CP 的取值范围．

EM=FM=

7

＜

8

点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点O到直线AB的距离；

（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB 相似时，请你直接写出点M的坐标．

．

（

OA=

9

时，（

=，即=

b=

，得

b=

，

=，即=

，得

，

25．（14分）（2015?漳州）如图，抛物线y=﹣x+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．

（1）填空：点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（1，4）；

（2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时，求α的值并在图中标出点P的位置；（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t 之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？

10

两点坐标代入可得，解得

，

点坐标为（

11

，解得，

坐标为（，）

时，如图

，解得，

=（×）﹣t t t=＜t=时，有最大值

≤

，解得

，

（×××=（t

＜t=时，S=

12

13 ，且当t=时，有最大值，最大值为．28．（12分）（

2015?甘南州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2

+bx+c ，经过A （0，﹣4），B （x 1，0），C （x 2，0）三点，且|x 2﹣x 1|=5．

（1）求b ，c 的值；

（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；

（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． x 是方程﹣x =

14 b b ±

b=﹣﹣

﹣（），∴抛物线的顶点（﹣，）即为所求的点x x ××

C （5，0），其对称轴与x 轴相交于点M ．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PAB 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC ，在直线AC 的下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△NAC 的面积最大？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

，t+4

a=

（x x+4=（，

）

）代入得

x，

×﹣，

，

15

，t+4

x+4

﹣，﹣

t+4﹣（t﹣﹣

AM NG NG×（﹣

），

t=时，面积的最大值为，

t=t t+4=

，﹣

28．（12分）（2015?兰州）已知二次函数y=ax的图象经过点（2，1）．

（1）求二次函数y=ax2的解析式；

（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．

①当m=时（图①），求证：△AOB为直角三角形；

②试判断当m≠时（图②），△AOB的形状，并证明；

（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）

16

，

x

时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或

==

17

时，联立直线和抛物线解析式可得，解得或

﹣m+

﹣

==

26．（12分）（2015?天水）在平面直角坐标系中，已知y=﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶

点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

18

（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC 方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．

（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

时，到达

x

时，到达

，

﹣（

19

（

（

，得或

=2

．

20

28．（10分）（2015?酒泉）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

，t+4

a=

（x x+4=（，

）

21

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