高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案

§1.1.1平均变化率

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

(一)、探究新知，揭示概念

教学过程设计

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

(二)、探究新知，揭示概念

实例一：气温的变化问题

现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：

1、你从图中获得了哪些信息？

（注：3月18日

为第一天）

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2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?

3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？

师生讨论，教师板书总结：

分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，

当时间从1到32，气温从3.5o C增加到18.6o C，气温平均变化

当时间从32到34，气温从18.6o C增加到33.4o C，气温平均变化

因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。

【教师过渡】:“表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。

提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对“气温平均变化率”的理解。

实例二：气球的平均膨胀率问题。

【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。

假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？

思考：

1、这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？

2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。

学生讨论，小组交流，教师巡视。

学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。

【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。”

（1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）

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（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）

3、当空气容量从V1增到加V2时，气球的平均膨胀率是多少？

讨论得出：

实例三：高台跳水运动

【学生思考】：在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)= -4.9t2+6.5t+10。

1、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？

2、分别计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度。

3、当时间从t1到t2时，运动员的平均速度是多少？

（三）、分析归纳，抽象概括

【教学活动】：针对下面三个实例，教师引出问题：“我们通过观察图象得出了气温的平均变化率、通过分析表格，得出气球的平均膨胀率、通过分析解析式，得到了运动员的平均速度”。（幻灯出示）

1、实例一:在气温的变化问题中，当时间从t1到t2时,气温的平均变化率=

2、实例二: 在气球的半径变化问题中，当体积从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率=

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2、实例三：在高台跳水问题中，当时间从t1到t2时，运动员的平均速度=

【学生思考】：

1. 上述三个问题，有什么共同特征?

2. 你能归纳出分析此类问题的一般方法吗？

3. 下图中函数从x1到x2的平均变化率怎样计算？

4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？

5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么?

讨论得出：

1．上述问题中的变化率可用式子表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)

3．则平均变化率为

（四）、知识应用，深化理解

例1．已知函数f(x )=的图象上的一点及临近一点,则．

解：，

∴

例2．求在附近的平均变化率。

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解：，所以

所以在附近的平均变化率为

四．课堂练习

1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为．

2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结

1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率

六．布置作业

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