高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全(陈策提mai供huan

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？

答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离：

（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.

解：（1

）s=

(2) s==

(3) s==

(4) s==

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.

故

2

s=

x

s==

y

s==

5

z

s==.

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则

222222

(4)1(7)35(2)

z z

-++-=++--

解得

14

9

z=

173

174 即所求点为M （0，0，149

）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明：因为|AB |=|AC |=7.且有

|AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2.

故△ABC 为等腰直角三角形.

8. 验证：()()++=++a b c a b c .

证明：利用三角形法则得证.见图

7-1

图7-1

9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v

解：

232(2)3(3)

2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c

10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115

D A BA BD =-=--c a 2225

D A BA BD =-=--c a 3335

D A BA BD =-=--c a 444.5

D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则

1Pr j cos604 2.2

u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标.

解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则

{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

175 解得x =-2, y =3, z =0

故A 的坐标为A (-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：

（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；

（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量. 解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==

12Pr j 1

,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-

(2) 12(7PP =

=(3) 12

cos 14x

a PP α== 12cos 14y

a PP β==

12cos 14

z

a PP γ=

=

(4) 12012{

14PP PP ===+e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点.

求合力R 的大小和方向余弦.

解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，

1，4）

||==R cos cos cos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3

j +5k 和c

=-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a

, b , c .

解：||=

=a

||==b ||3==c

176 , , 3. a b c ==a b c e

16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.

解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k

在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .

17.解：设{,,}x y z a a a a =则有

c o s (1,1)3x a i a a i a i

π?====? 求得12x a =

. 设a 在xoy 面上的投影向量为b 则有{,,0}x y b a a =

则222cos 4a b

a b π?=?=? 则214y a = 求得12

y a =± 又1,a =则2221x y z a a a ++=

从而求得11{,,}222a =±或11{,,}222

-± 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.

解：设向径OM ={x , y , z }

12{2,5,3}{3,2,5}

M M x y z MM x y z =--+=----

因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ?=?-=-????-=--?=-????+=-?=???

177 故OM ={111,,344

-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777

，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=

得2229524x y z z ++=-+

126570

cos 6, 749z z γ==?==

又122190

cos 2, 749x x α==?==

123

285

cos 3, 749y y β==?==

故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570

,,494949）.

20. 已知a , b 的夹角2π

3?=，且3,4==b a ，计算：

(1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ).

解：（1）a ·b =2π

1

cos ||||cos 3434632???=??=-??=-a b

(2) (32)(2)3624-?+=?+?-?-?a b a b a a a b b a b b

22

23||44||334(6)41661.

=+?-=?+?--?=-a a b b

21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：

（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2||-a b 解：（1）46(2)(3)4238?=?+-?-+?=a b

(2) (23)()2233-?+=?+?-?-?a b a b a a a b a b b b

22

2222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113

=-?-=?+-+--+-+=?--?=-a a b b

(3) 222||()()2||2||-=-?-=?-?+?=-?+a b a b a b a a a b b b a a b b

36238499=-?+=

178 22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影.

解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}

Pr j CD AB CD AB CD ?

=4.7

==- 23. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角.

解: (a +3b )·(7a -5b ) =22

7||1615||0+?-=a a b b ①

(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-?+=a a b b ② 由①及②可得：222221()1||||2||||4

???==?=a b …… 此处隐藏：13183字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……