大一高数期末考试题(精)

. 高等数学I 解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1. 当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ D ）不一定是无穷小.

(A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22βα+

(C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )()

(2x x βα

2. 极限a

x a x a x -→??? ??1

sin sin lim 的值是（ C ）.

（A ） 1 （B ） e （C ） a

e cot （D ） a

e tan

3. ?????=≠-

+=00

1

sin )(2x a x x

e x x

f ax 在0x =处连续，则a =（ D ）.

（A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1-

4. 设)(x f 在点x a =处可导，那么=

--+→h h a f h a f h )

2()(lim 0（ A ）.

（A ） )(3a f ' （B ） )(2a f '

(C) )(a f ' （D ） )

(31

a f '

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 极限)0(

ln )ln(lim 0>-+→a x a a x x 的值是 a 1

.

6. 由x x y e y x 2cos ln =+确定函数y (x )，则导函数='y x xe ye x

y x xy xy ln 2sin 2+++- .

7. 直线l 过点M (,,)123且与两平面x y z x y z +-=-+=202356,都平行，则直线l 的方程为 131211--=--=-z y x . 8. 求函数2

)4ln(2x x y -=的单调递增区间为 （－∞，0）和（1，+∞ ） .

三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

9. 计算极限1

0(1)lim x x x e

x →+-. 解：11

ln(1)12000(1)1ln(1)lim lim

lim 2x x x x x x x e e x x e

e e x x x +-→→→+--+-===-

10. 已知：||3a = ，||26b = ，30a b ?= ，求||

a b ? 。

解： 1312

cos 1sin ,135cos 2=-==?=θθθb a b

a

，72=?b a

11. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且],[)()()(b a x dt t f t x x F x

a ∈-=

?，试求出)(x F ''。

解：??-=x

a x a dt

t tf dt t f x x F )()()(

??=-+='x

a x a dt

t f x xf x xf dt t f x F )()()()()(

)()(x f x F ='' 12. 求 3cos .sin x x dx x ? 解：23cos 1sin sin 2x x dx xd x x -=-?? 2221111sin sin sin cot 2222x x xdx x x x C ---=-+=--+?

四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）

13. 求 ?-23

221

x x dx . 令　1x

t = ?

--=2

1

23

22)1(1111dt t t t 原式 =-?dt

t 12123

2 =arcsin t

1232=π6

14. 求函数 2

12x x y += 的极值与拐点.

解：函数的定义域（－∞，+∞） 2

2)1()1)(1(2x x x y ++-=' 322)1()3(4x x x y +--=''

令

0='y 得 x 1 = 1, x 2 = -1 0)1(<''y x 1 = 1是极大值点，0)1(>-''y x 2 = -1是极小值点 极大值

1)1(=y ，极小值1)1(-=-y

0=''y 33故拐点（-3，-23），（0，0）（3，23）

15. 求由曲线43x y =与23x x y -=所围成的平面图形的面积.

解　:,,x x x x x x 3

232431240=--+=

x x x x x x ()(),,,.+-==-==620602123　　　　　 S x x x dx x x x dx =-++---??()()3260

23

024334

=-++---()()x x x x x x 42360234021632332316

=+=452134713 16. 设抛物线24x y -=上有两点(1,3)A -，(3,5)B -，在弧A B 上，求一点(,)P x y 使ABP ?的面积最大. 解：

AB y x AB P AB x y x x x ABP 连线方程：　　点到的距离　的面积+-==+-=-++-≤≤21045

21523

5132()

?

　　　S x x x x x ()()

=??-++=-++12452

3

522322

　　　　当　　'=-+='=S x x x S x ()()4410

　　　当时取得极大值也是最大值''=-<=S x x S x ()()40

1

此时　　所求点为，y =313()

另解：由于的底一定故只要高最大而过点的抛物线

的切线与平行时高可达到最大值问题转为求，使　解得所求点为?ABC AB C AB C x x f x x x C ,,,()

,(),,(,)

002

0004253312113-'=-=--+=-=

六、证明题（本大题4分）

17. 设0x >，试证x x e x

+<-1)1(2.

证明：设0),1()1()(2>+--=x x x e x f x

1)21()(2--='x e x f x ，x xe x f 24)(-=''，

0)(,0≤''>x f x ，因此)(x f '在（0，+∞）内递减。

在（0，+∞）内，)(,0)0()(x f f x f ='<'在（0，+∞）内递减，

在（0，+∞）内，),0()(f x f <即0)1()1(2<+--x x e x

亦即当 x >0时，x x e x +<-1)1(2 。

高等数学I A

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

18. 函数

??????

???<+<≤>-+=0

,sin 1

0,2tan 1

,1)

1ln()(x x x x x

x x x x f π 的全体连续点的集合是 （ ）

(A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞)

(C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞)

19. 设0

)11(lim 2

=--++∞→b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ）

（A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1）

20. 设在[0，1]上)(x f 二阶可导且0)(>''x f ，则（ ）

（A ）)0()1()1()0(f f f f -<'<' (B) )1()0()1()0(f f f f '<-<'

(C) )0()1()0()1(f f f f -<'<' （D ）)0()1()0()1(f f f f '<'<-

21. ,1cos sin 2224dx x x x M ?-+=ππ?-+=2243)cos (sin ππdx x x N ?--=2

2432)cos sin (π

π

dx

x

x x P 则（

） （A ） M < N < P （B ） P < N < M

（C ） P < M < N （D ） N < M < P

二 填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

1. 设=->)1arctan (12x x d x （ ）

2. 设?+=,sin )(c x dx x f 则?=dx x f n )()(（ ）

3. 直线方程

p z n y m x +-==--6524，与xoy 平面，yoz 平面都平行，

那么m n p ,,的值各为（ ）

4. =

??? ??=+∞→∑2

12lim n i n i x e n i （ ）

三 解答题（本大题有3小题，每小题8分，共24分） 1. 计算

??? ??-→2201s i n 1l i m x x x 2. 设?????≤>=00,1cos )(2x x x x x x f 试讨论)(x f 的可导性，并在可导处求出)(x f ' 3. 设函数

),()(+∞-∞=在x f y 连续，在x ≠0时二阶可导，且其导函数)(x f '的图形如图所示，给出 )(x f

)(x f y =的拐点。

四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

1. 求不定积分 …… 此处隐藏：19251字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……