备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题08

【高考地位】

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 二次函数在闭区间上最值问题在高考各省市的考题中经常出现，由于二次函数分类讨论参变量取不同的值时，可引起函数性质的变化，因此研究二次函数在区间上的最值问题常见处理方法是有必要的.

【方法点评】

类型 求二次函数最值问题

使用情景：二次函数在区间上的最值问题

解题模板：第一步 通过观察函数的特征，分析二次函数的表达式中是否具有参数，且参数

的位置在什么

位置；

第二步 通过讨论二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论；

第三步 根据二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数

的单调性求出

其最值；

第四步 得出结论.

例1已知函数()y f x =是二次函数，且满足(0)3f =，(1)(3)0f f -==

（1）求()y f x =的解析式；

（2）若[,2]x t t ∈+，试将()y f x =的最大值表示成关于t 的函数()g t ．

【答案】（1）2()23f x x x =-++；（2）2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ?--+≤-?=-<

．

【解析】

试题解析：（1）由题可设()(1)(3)f x a x x =+-，

又(0)3f =，得a ＝－1，

得

2()23f x x x =-++ （2）由（1）知，()y f x =的对称轴为01x =，

若1t ≥，则()y f x =在[,2]t t +上是减函数，2max ()23y f t t t ==-++…8分

若21t +≤，即1t ≤-，则()y f x =在[,2]t t +上是增函数，

2max (2)23y f t t t =+=--+

若12t t <<+，即11t -≤≤，则max (1)4y f ==

故 2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ?--+≤-?=-<

。

考点：二次函数的解析式，二次函数的最值．

【名师点睛】（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．

例 2 已知函数2

(=(0,,)f x ax bx c a b R c R ++>∈∈），若函数()f x 的最小值是(1)0,(0)1f f -==且对称轴是1x =-，()(0)()()(0)

f x x

g x f x x >?=?-

（2）在（1）条件下求()f x 在区间[],2t t + ()t R ∈的最小值．

【答案】（1）8；（2）()21t +．

【解析】

试题解析：（1）(1)0(0)112f f b x a ??-=?=???=-=-?

， ∴012a b c c b a -+=??=??=? ∴112a c b =??=??=? ∴2()(1)f x x =+

∴()22(1)(0)(1)(0)

x x g x x x ?+>?=?-+

2

()(1)f x x =+在区间[],2t t +上单调递减

2

min ()(2)(3)f x f t t =+=+

当12t t <-<+时，即31t -<<-时

2

()(1)f x x =+在区间[],1t -上单调递减，2

()(1)f x x =+在区间[]1,2t -+上单调递

增

min ()(1)0f x f =-= 当1t ≥-时2

()(1)f x x =+在区间[],2t t +上单调递增，2

min ()()(1)f x f t t ==+。

考点：1、待定系数法求解二次函数的解析式；2、二次函数求最值；3、利用分类讨论求解函数的最值．

【变式演练1】已知函数2()21f x x ax =++，

（1）求()f x 在区间[]1,2-的最小值()g a ；（2）求()f x 在区间[]1,2-的值域

【答案】（1）()222,11,1252,2a a g a a a a a -<-??=-+-≤≤??+>?

（2）当1a ≤-时值域为2-2a ，5+2a]，当12

a -<≤时值域为21,52a a ??-++??，当2a >时值域为5+2a ，2-2a].

【解析】

试题分析：（1）先配方，再分类讨论，即可求f （x ）在区间-1，2]的最小值g （a ）；（2）分类讨论，求出f （x ）在区间-1，2]的最大值，最小值，即可求f （x ）在区间-1，2]的值域

试题解析：（1）()2

22()211f x x ax x a a =++=+-+． ∴a ＜-1时，g （a ）=2-2a ；-1≤a ≤2时，g （a ）= 21a -+；a ＞2时，g （a ）=5+2a ，

()222,11,1252,2a a g a a a a a -<-??∴=-+-≤≤??+>?

考点：二次函数的性质.

【点评】本题在求二次函数的最值时，用到了分类讨论思想，求解中对系数a 的符号进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.

【变式演练2】设函数2(),,f x x ax b a b R =-+∈．

（1）当2a =时，记函数|()|f x 在0，4]上的最大值为()g b ，求()g b 的最小值；

（2）存在实数，使得当[0,]x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，求的最大值及此时的值．

【答案】（1）

92

；（2）2a ＝ 【解析】

试题分析：（1）当2a =，2()2f x x x b =-+,对称轴为01x =．所以()f x 的最大值|1|,|1||8|()max{|(1)(4)|}|8|,|1||8|b b b g b f f b b b --≥+?==?+-<+?

|,|，即可得到()g b 的最小值．（2）显然0b >．2

2()24a a f x x b ??=-+- ???．然后再对<02a ，2a b >和02a b ≤≤进行分类讨论，借助函数的单调性即可求出结果．

试题解析：（1）当2a =，2()2f x x x b =-+,对称轴为01x =． 所以()f x 的最大值|1|,|1||8|()max{|(1)(4)|}|8|,|1||8|b b b g b f f b b b --≥+?==?

+-<+?|,|． 所以()g b 的最小值为92

．

③当02a b ≤≤时，只需满足()()2

2

2

06,224624f b a a f b a a f b b b ??=≤?????

=-≥? ????????=-+-≤ ?????①

，②，③

由①，②得26

b ≤≤．由②，

③得2

-+262a b ??

≤ ???，又02a

b ≤≤，∴022a

b ≤-≤，即022a

b ≤-≤，再结合②得

2

22()24a

b b ≤≤-，

④∴23b ≤≤．当3b ＝时，由④得2a ＝，此时满足①，②，③及02a

b ≤≤．

综上所述，的最大值为，此时2a ＝．

考点：1．二次函数的性质；2．函数的单调性；3．分类讨论思想．

【变式演练3】记函数2()f x ax bx c =++（，，均为常数，且0≠a ）．

（1）若1=a ，()()c f b f =（c b ≠），求()2f 的值；

（2）若1=b ，a c -=时，函数()x f y =在区间[1,2]上的最大值为()g a ，求()g a ．

【答案】（1）4 （2）()??????

???-≤-<<---≠-≥+=2

1,14

12

1,410

4

1,23a a a a a a a a g 且

【解析】

试题分析：（1）将已知条件()()c f b f =代入可得到关于,b c 的方程，从而求得函数解析式，

得到函数值；（2）结合已知条件将函数式化简2

11()24f x a x a a a ??=+-- ??

?，通过对参数范围的讨论确定函数在区间[1,2]上的单调性，从而求得最大值。

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