《相似三角形的判定(3)》教学设计【人教版九年级数学下册】

《相似三角形的判定》教学设计

第3课时

一、教学目标

1.理解三角形相似的判定定理和直角三角形相似的特殊判定方法．

2.能够运用三角形相似的判定定理和直角三角形相似的特殊判定方法进行推理论证和计算．

二、教学重点及难点

重点：理解并掌握三角形相似的两个判定定理.

难点：“两角对应相等的两个三角形相似”和“直角三角形相似的特殊证明方法”的判定定理证明．

三、教学用具

电脑、多媒体、课件

四、相关资源

五、教学过程

(一)复习回顾

1.已经学习过的的三角形相似的证明方法.

2.全等三角形与相似三角形的关系.

上一节课同学们猜测到了下边的两个命题

（1）两角分别相等的两个三角形相似；

（2）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．

这两个命题是否真命题，需要我们本节课进行研究

设计意图：通过回顾，能够和本节内容练习起来，形成完成的知识体系，同时引入新课的学习

（二）探究证明

1．如何证明“两角分别相等的两个三角形相似”呢？

如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，求证△ABC∽△A'B'C'．

分析证明：在线段A'B'、A'C' （或它的延长线）上截取A'D=AB，A'E=AC ,连接DE.

∵∠A =∠A'

∴△A'DE ≌△ABC ．

∴∠A'DE=∠B, ∠A'ED=∠C,DE= BC.

又∵∠B =∠B'

∴∠A'DE=∠B'

∴DE// B'C'

∴△A'DE ∽△A'B'C'． ∴A D A E DE A B A C B C ''==''''''

如图，在△ABC 和△A'B'C'中，

∠A =∠A'，∠B =∠B'

∴△ABC ∽△A'B'C'．

2．类比直角三角形全等的判定方法“HL ”，证明“斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似”．

如图，在Rt △ABC 和Rt △A'B'C'中，∠C =∠C'=90°，

AB AC A B A C =''''

．求证Rt △ABC ∽Rt △A'B'C'．

分析：要证Rt △ABC ∽Rt △A'B'C'，可设法证BC AB AC B C A B A C ==''''''．若设AB AC k A B A C ==''''，只需证BC k B C =''

． 证明：设AB AC k A B A C ==''''

，则AB =kA'B'，AC =kA'C'．

由勾股定理，得BC

B C ''=

∴BC k B C k B C B C ''?====''

''． ∴BC AB AC B C A B A C

==''''''． ∴Rt △ABC ∽Rt △A'B'C'．

所以斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．

符号语言表示：

如图，在△ABC 和△A'B'C'中，

∠C =∠C'=90°，AB AC A B A C =''''

． ∴Rt △ABC ∽Rt △A'B'C'．

设计意图：类比三角形全等的判定方法，通过猜想、论证得出三角形相似的判定定理．

（三）例题解析

例1. 如图：∠C =∠B,请指出图中的相似三角形.

解：∵∠B =∠C,∠DFB =∠EFC

∴△DFB ∽△EFC(两角分别相等的两个三角形相似)

∵∠B =∠C, ∠A =∠A

∴△ABE ∽△ACD (两角分别相等的两个三角形相似)

设计意图：熟练运用“两角分别相等的两个三角形相似.”

例2.如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，AC =8．E 是AC 上一点，AE =5，ED ⊥AB ，垂足为D ．求AD 的长．

解：∵ED ⊥AB ，

∴∠EDA =90°．

又∠C =90°，∠A =∠A ，

∴△AED ∽△ABC ． ∴AD AE AC AB

=． ∴85410AC AE AD AB ??=

==． 由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．

设计意图：通过此例题的讲解，让学生进一步熟悉“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，同时总结得到两个直角三角形如果满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．

例3.如图:AB =2AC ,BD =2AE ,且BD ⊥AD,AE ⊥EC , 求证：△ABD ∽△CAE

证明：∵BD ⊥AD,AE ⊥EC ,

∴△ABD 和△CAE 都是直角三角形．

∵AB =2AC ,BD =2AE ∴2AB BD AC AE

== ∴△ABD ∽△CAE

设计意图：巩固“斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似”．

（四）课堂练习

1．如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB的长．

解：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A

∴△ABD∽△ACB．

∴AB AD AC AB

=

∴

8

2

AD

AD

= 22816

AD=?=

∴AD=4

设计意图：考查运用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理进行推理计算的能力．

2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．

解：△ACD∽△ABC，

△CBD∽△ABC．

证明：∵∠ACB=∠ADC=90°，

∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC．

∵∠CDB=∠ACB=90°，

∠B=∠B，

∴△CBD∽△ABC．

设计意图：考查“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理．

3．底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．1．（1）已知：在等腰△ABC中，AB=AC，在等腰△A'B'C'中，A'B'=A'C'，且∠B=∠B'．求证△ABC∽△A'B'C'．

证明：∵AB =AC ，

∴∠B =∠C ．

∵A'B'=A'C'，

∴∠B'=∠C'．

又∠B =∠B'，

∴∠C =∠C'．

∴△ABC ∽△A'B'C'．

（2）已知：在等腰△ABC 中，AB =AC ，在等腰△A'B'C'中，A'B'=A'C'，并且∠A =∠A'．求证△ABC ∽△A'B'C'．

证明：∵在△ABC 中，AB =AC ，∠B =∠C ，

∴2∠B =180°-∠A ． ∴2

019B A ∠=?-∠． 同理，在△A'B'C'中，A'B'=A'C'，∠B'=∠C'，

∴2∠B'=180°-∠A'． ∴9012B A ''∠=?-

∠． 又∠A =∠A'，

∴∠B =∠B'．

∴△ABC ∽△A'B'C'．

设计意图：考查“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理．

六、课堂小结

三角形相似的判定方法共有几种：

1．通过定义（比较复杂，烦琐）；

2．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似（只能在特定的图形里面使用）；

3．三边对应成比例的两个三角形相似；

4．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

5．两角分别相等的两个三角形相似；

6．两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例．

设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，理解和掌握三角形相似的判定方法，并灵活选用三角形相似的判定方法解决问题．

七、板书设计

27.2.1三角形相似的判定(3)

判定定理：

1．两角对应相等；

2．两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例．

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