2015年中学考试数学专题复习 全等与相似 含问题详解整理

专题 全等与相似

一

1．（2012年，）如图，已知△ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是______，cos A 的值是______________．(结果保留根号)

考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．

分析：可以证明△ABC ∽△BDC ，设AD ＝x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则E 为AB 中点，由余弦定义可求出cos A 的值．

2．（2012年，）(12分)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝6，D 为BC 的中点．

(1)若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝CF ，求证：△AED ≌△CFD ；

(2)当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运动，到点A 、B 时停止；设△DEF 的面积为y ，F 点运动的时间为x ，求y 与x 的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动，求此时y 与x 的函数关系式．

A

B C

D

二.

1. （2012，22，12分）如图1，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边的中点，G 点在边AB 上，△BDG 与四边形ACDG 的周长相等，设BC=a 、AC=b 、AB=c.

（1）求线段BG 的长；

解：

（2）求证：DG 平分∠EDF;

证：

（3）连接CG ，如图2，若△BDG 与△DFG 相似，求证：BG ⊥CG.

证：

2．（2012）如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线BD 上的两点，AE ∥CF ，AE=CF ，BE=DF ．求证：△ADE ≌△CBF ．

3．（2012年，）

如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，点D 是BC 边的中点．点P 从点B 出发，以a cm/s(a ＞0)的速度沿BA 匀速向点A 运动；点Q 同时以1cm/s 的速度从点D 出发，沿DB 匀速向点B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为t s ．

A B C D E F G B

C

(1)若a ＝2，△BPQ ∽△BDA ，求t 的值；

(2)设点M 在AC 上，四边形PQCM 为平行四边形．

①若a ＝ 5 2

，求PQ 的长； ②是否存在实数a ，使得点P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．

4．（2012）如图，在?ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在BC 的延长线上，且BE=CF ．求证：∠BAE=∠CDF ．

5．（2012?资阳）（1）如图（1），正方形AEGH 的顶点E 、H 在正方形ABCD 的边上，直接写出HD ：GC ：EB 的结果（不必写计算过程）；

（2）将图（1）中的正方形AEGH 绕点A 旋转一定角度，如图（2），求HD ：GC ：EB ；

（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA ：AB=HA ：AE=m ：n ，此时HD ：GC ：EB 的值与（2）

小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．

6．（2012年，）（12分）如图，△ABC 是边长为6的等边三角形， P

是AC 边上一动点，由A 向C 运动（与A 、C 不重

合），Q 是CB 延长线上一动点，与点P 同时．．以相同．．

的速度由B 向CB 延长线方向运动（Q 不与B 重

合），过P 作PE ⊥AB 于E ，连接PQ 交AB 于D .

（1）当∠O BQD 30 时，求AP 的长；

（2）在运动过程中线段ED 的长是否发生变化？

如果不变，求出线段ED 的长；如果发生改

变，请说明理由．

7．（2012年，）

如图131-，点E 是线段BC 的中点，分别以B C ，为直角顶点的EAB EDC △和△均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．

（1）AE ED 和的数量关系为___________，

AE ED 和的位置关系为___________；

（2）在图131-中，以点E 为位似中心，作EGF △与EAB △位似，点H 是BC 所在直线上的一点，连接

GH HD ，，分别得到了图132-和图133-；

①在图132-中，点F 在BE 上，EGF EAB △与△的相似比是1:2，H 是EC 的中点.求证：.GH HD GH HD =⊥，

②在图133-中，点F 在BE 的延长线上，EGF EAB △与△的相似比是k :1，若2BC =，请直接写出CH

的长为多少时，恰好使得GH HD GH HD =⊥且（用含k 的代数式表示）．

8、（2012年，）（10分）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

原题：如图1，在ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3AF BF

=，求CD CG 的值。 （1）尝试探究

在图1中，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是 ，CG 和EH 的数量关系是 ，

CD CG

的值是 （2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若

(0)AF m m BF

=>则CD CG 的值是 （用含m 的代数式表示），试写出解答过程。 （3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若,(0,0)AB BC a b a b CD BE

==>>，则AF EF 的值是 （用含,a b 的代数式表示）.

9.（2012年，）（本小题7分）

如图，在△AEC 和△DFB 中，∠E=∠F ，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，有如下三个关系式：①AE ∥DF ，②AB=CD ，③CE=BF 。

（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：

“如果，，那么”）；

（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由。

答案：一 1.解答：解：∵ △ABC ，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，

∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝180°－∠A 2＝72°．

∵ BD 是∠ABC 的平分线，

∴ ∠ABD ＝∠DBC ＝12∠ABC ＝36°．

∴ ∠A ＝∠DBC ＝36°，

又∵ ∠C ＝∠C ，

∴ △ABC ∽△BDC ，

∴ AC BC ＝BC CD ，

设AD ＝x ，则BD ＝BC ＝x ．则1x ＝x

1－x ， A B C D E

解得：x ＝5＋12(舍去)或5－12． 故x ＝ 5－1

2

． 如右图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，

∵ AD ＝BD ，

∴E 为AB 中点，即AE ＝12AB ＝12

． 在Rt △AED 中，cos A ＝AE

AD ＝1

25－1

2＝5＋14．

故答案是：5－12；5＋14．

点评：△ABC 、△BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cos A 时，注意构造直角三

角形，从而可以利用三角函数定义求解．

2．

(1)证明: ∵∠BAC ＝90° AB ＝AC ＝6,D 为BC 中点

∴∠BAD ＝∠DAC ＝∠B ＝∠C ＝45° ······················ 1分

∴AD ＝BD ＝DC ·················································· 2分．

∵AE ＝CF ∴△AED ≌△CFD ································· 3分

(2)依题意有:FC ＝AE ＝x ························· …… 此处隐藏：7259字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……