高考数学第一轮复习直线与圆的位置关系学案(教师版)

直线与圆的位置关系

一、学习目标：优化设计P88考纲解读

二、自主学习：

1.若直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相交，则P （a ，b ）与圆的位置关系为 .

答案 在圆外

2.若直线4x-3y-2=0与圆x 2+y 2-2ax+4y+a 2-12=0总有两个不同交点，则a 的取值范围是 .

答案 -6＜a ＜4

3.两圆x 2+y 2-6x+16y-48=0与x 2+y 2+4x-8y-44=0的公切线条数为 . 答案 2

4.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+

24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围

是 .

答案 ??? ??43,125 5.(2008·重庆理，15)直线l 与圆x 2+y 2+2x-4y+a=0 (a ＜3)相交于两点A,B,弦AB 的中点为(0,1),则直线l 的方程为 .

答案 x-y+1=0

【考点梳理】见优化设计P88考点梳理

三、合作探究：

例1 已知圆x 2+y 2-6mx-2（m-1）y+10m 2-2m-24=0（m ∈R ）.

（1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上；

（2）与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.

（1）证明 配方得：（x-3m ）2+［y -(m-1)］2=25，设圆心为（x ，y ），则?

??-==13m y m x ，消去m 得

l ：x-3y-3=0，则圆心恒在直线l ：x-3y-3=0上.

（2）解 设与l 平行的直线是l 1：x-3y+b=0，则圆心到直线l 1的距离为d=10)1(33b

m m +--=103b +.

∵圆的半径为r=5，∴当d ＜r ，即-5

10-3＜b ＜510-3时，直线与圆相交； 当d=r,即b=±510-3时，直线与圆相切；

当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离.

（3）证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x-3y+b=0，由于圆心

到直线l 1的距离d=

103b +， 弦长=222d r -且r 和d 均为常量.∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各

圆截得的弦长相等.

例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线l 所在直线的方程.

解 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点B （b,0)，则k AB =

33+-b ,根据光的反射定律，反射光线的斜率k 反=33+b .∴反射光线所在直线的方程为y=33+b (x-b),即3x-(b+3)y-3b=0.

∵已知圆x 2+y 2-4x-4y+7=0的圆心为C （2,2），半径为1, ∴2

)3(932)3(6++-?+-b b

b =1,解得b 1=-43,b 2=1. ∴k AB =-34

或k AB =-43.∴l 的方程为4x+3y+3=0或

3x+4y-3=0.

方法二 已知圆C ：x 2+y 2-4x-4y+7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x-2)2+(y+2)2=1，

其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直

线方程与圆C 1相切.

设l 的方程为y-3=k(x+3),则2215

5k k ++=1,即12k 2+25k+12=0.

∴k 1=-34，k 2=-4

3.则l 的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0. 方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,

由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴???

????=+-+=--1122332k b k k b k k ,消去

b 得11552=++k k . 即12k 2+25k+12=0,∴k 1=-34,k 2=-43.则l 的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.

四、课堂总结：

知识

方法

思想

五、检测巩固：

1.已知曲线C ：x 2+y 2-4ax+2ay-20+20a=0.

（1）证明：不论a 取何实数，曲线C 必过定点；

（2）当a ≠2时，证明曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上；

（3）若曲线C 与x 轴相切，求a 的值

.

（1）证明 曲线C 的方程可变形为 (x 2+y 2-20)+(-4x+2y+20)a=0，

由?????=++-=-+020*******y x y x ,解得???-==24y x ，点（4，-2）满足C 的方程，故曲线C 过定点（4，

-2）.

（2）证明 原方程配方得(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2,

∵a ≠2时，5(a-2)2＞0,∴C 的方程表示圆心是（2a,-a),半径是

5|a-2|的圆. 设圆心坐标为（x,y ），则有??

?-==a y a x 2,消去a 得y=-21x,故圆心必在直线y=-21x 上.

（3）解 由题意得5|a-2|=|a|,解得a=25

5±.

2.若圆x 2+y 2=1与直线y=kx+2没有公共点，则k 的取值范围为 .

答案 (-3,3)

3.已知圆C ：（x-a ）2+(y-2)2=4 (a ＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l 被圆C 截得的

弦长为23时，

则a= .

答案 2-1

4.若直线1=+b y a x 与圆x 2+y 2=1有公共点，则221

1b a +与1的大小关系是 .

答案 221

1

b a +≥1

5.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c 的取值范围为 .

答案 （-35，-5）∪（5，35）

6.过点A （11，2）作圆x 2+y 2+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有 条.

答案 32

7.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）2+(y-2)2=4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，

则a= .

答案 0

8.将圆x 2+y 2=1沿x 轴正向平移1个单位后得到圆C ，则圆C 的方程是 ；若过点（3，0）的直线l 和圆C 相切，则直线l 的斜率是 .

答案 （x-1）2+y 2=1

33或-33

六、学习反思：