数值分析试题与答案

试题

__2009___年~__2010___年第 一学期

课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □

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一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。

3.设110111011A -???

?=--????-??，233x ????=??????，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？

3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥

≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x

1 2

3 i y

2 4 12 i y ' 3

并估计误差。（10分）

四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1

011I dx x =+?。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分）

六．试用Doolittle 分解法求解方程组：

12325610413191963630

x x x -????????????-=????????????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231

23202324812231530x x x x x x x x x ++=??++=??-+=? 的迭代格式，并

判断其是否收敛？（10分）

八．就初值问题0

(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

《数值分析》（A ）卷标准答案

（2009－2010－1）

一． 填空题（每小题3分，共12分）

1. ()1200102()()()()

x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分） 对于对称正定阵 A ，从21

i ii ik k a l ==∑可知对任意k ≤ i 有||ik ii l a ≤。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分）

2. 解：（1）若()**x x ?=，则称*x 为函数()x ?的不动点。 （2分）

（2）()x ?必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点：

1）()x ?是在其定义域内是连续函数； （2分）

2）()x ?的值域是定义域的子集； （2分）

3）()x ?在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）

3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分） 步1：输入矩阵A ，初始向量v0，误差限ε，最大迭代次数N;

步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞;

步3：计算vk=Auk-1;

步4：计算 并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;

步5：若|mk- μ |< ε，计算，输出mk,uk ；否则，转6；

步6：若k

信息，停止

三． 解：（1）利用插值法加待定系数法：

设()2p x 满足 ()()()22212,24,312,p p p ===则()2

2376,p x x x =-+（3分） 再设()()()()()32123p x p x K x x x =+--- （3分） 2K = （1分） ()32

329156p x x x x =-+- （1分） （2）()()()()()()24311234!

R x f x x x ξ=--- （2分） 四．解：应用梯形公式得()()11012

I I f f ≈=+???? （2分） 0.75= （1分） 应用辛普森公式得：()()21104162I I f f f ????≈=++ ???????

（2分） 0.69444444= （1分）

应用科特斯公式得：

()()41113703212327190424I I f f f f f ????????≈=++++ ? ? ???????????

（2分） 0.6931746= （2分）

五．解：由零点定理，cos 0x x -=在(0,

)2π内有根。 （2分） 由牛顿迭代格式1cos 0,1,......1sin n n n n n x x x x n x +-=-

=+ （4分） 取04x π

=得， [][]1max ;k k r i i n

v v ≤≤=

12340.73936133;0.739085178

0.7390851330.739085133

x x x x ==== （3分）

故取*40.739085133x x ≈= （1分） 六．解：对系数矩阵做三角分解：

1112

1321222331323325610

0413********u u u l u u l l u -??????

??????-=????????????---??????

（2分） 125621373414A LU -????

????=-=????????-????

（4分）

若Ly b =，则12310,1,4y y y ==-=； （2分）

若Ux y =，则(3,2,1)T

x =。 （2分）

七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为

00.50.51010.50.50B -????=--??????

（2分）

其特征多项式为()2

det() 1.25I B λλ

λ

-=+，且特征值为

1230, 1.25, 1.25i i λλλ===- （2分） 故有() 1.251B ρ=>，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分） （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为

00.50.500.50.5000.5B -????=--????-??

（2分） 其特征值为1230,0.5λλλ=== （2分） 故有()0.51B ρ=<，因而雅可比迭代法收敛。 （1分） 八．证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）

1. 证：该问题的精确解为0()x y x y e λ= （2分）

欧拉公式为1(1)i i i i y y h y h y λλ+=+=+ （2分）

对任意固定的i x x ih ==，

有/1/00(1)

[(1)]i i x h x h i y y h y h λλλλ=+=+， （2分） 则0()i x i y e y x λ= （1分）

2.证：牛顿迭代格式为125,0,1,2,66n n n x a x n x +=

+