《机械工程测试技术基础》第三版熊诗波 黄长艺 课后答案

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机械工程测试技术基础第三版课后题答案

1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。

解：傅立叶级数的复指数形式表达式：???±±±==

∑+∞

-∞

=,3,2,1,0;)(0n e

C t x n t

jn n

ω

式

中：

所以：

幅值频

谱：

相位频谱：

傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。 1.2求正弦信号 x (t )=x 0sin ωt 的绝对均值μ

|x |和均方根值

x rms

解：

[]

()????????±±±=???±±±=-=--=+?+-=??????-+??????--=?

??+???-==

---------???

,6,4,2;

0,5,3,1;2cos 12111)(1)(12

000

2

00

2002

022

00000

000000n n n A j n n A

j

e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e

t x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T t

jn T T t

jn n πππ

ππωωππωωωωω???±±±±=??? ?

?

-=∑+∞

-∞=,7,5,3,1;2)(0n e

n A j t x t jn n ωπ?

??±±±==+=,5,3,1;222n n A

C C C nI

nR

n π

????????---=???=-=?????? ??-==,5,3,1;2

,5,3,1;2

02n n n A arctg C C arctg

nR

nI n πππ?ω

π

π

ωμ2;2sin 1

)(lim 00

00

=

=

=

=?

?

∞→T x tdt x T dt t x T

T T x 式中：()2

sin 1)(1002

00

20

x dt dt x T dt t x T x T T rms =

=

=

??

ω

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1.3求指数函数 的频谱。

解：

1.4求符号函数（题图1-1a ）和单位阶跃函数（题图1-1b ）的频谱. 解:1) 符号函数的频谱:

令:

2)单位阶跃函数的频谱:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。

)0;0(;)(≥>=-t Ae t x t

ααf

j A

dt e

Ae

dt e

t x f X ft

j t

ft

j παπαπ2)()(0

22+=

?==?

?∞

+--∞

+∞

--f

j dt e e dt e e dt

e t x

f X t x e

t x ft j t

ft j t ft j t

ππαπααπαα1)1(lim )()(;

)(lim )(022002110

1=??

? ??+-===???∞+---∞--→--→f

j dt e e dt e

t x f X t x e

t x ft j t ft

j t

ππααπαα21lim )()(;

)

(lim )(0202220

2=??? ??===??∞+--→--→??

?≥<=T

t T

t t t x ;

0;cos )(0ω

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解：

1.6求指数衰减振荡信号（见图1-11b ）： 的频谱

解：

1.7设有一时间函数f (t )及其频谱(题图1-3所示)，现乘以余弦型振荡cos ω0t ，(ω0>ωm )。在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦型振荡cos ω0t 叫做载波。试求调幅信号f (t )cos ω0t 的傅立叶变换。示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0<ωm 时将会出现什么情况？

解：

()[]

210000222202sin sin 2)(2)(sin 2)(2)(sin 212cos )()(00θθππππππππππ?+?=??????--+++=+===--+-+--+∞∞--???c c T T f f T f f T f f T f f T dt e e e dt te f dt e t x f X ft j t f j t f j T T T T ft j ft j )0,0(;sin )(0≥>=-t t e t x t αωα()()

???? ??-+-++=-?===-∞+---+∞-+∞∞--???)(21)(21222sin )()(002022200200f f j f f j j dt e e e j e dt e t f e dt e t x f X ft j t f j t f j t ft j t ft j παπαππππαπαπ[]())22(21)22(2121)(2cos )()()(0022220200f f F f f F dt e e e t f dt e t f t f dt e t x f X ft j t f j t f j ft j ft j ππππππππππ-++=???????+=?==-∞+∞---+∞∞-+∞∞

--???

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当ω0<ωm 时，将会出现频率混叠现象

1.8求正弦信号x (t )=x 0sin （ω0t +φ）的均值μ

x 和均方值φx 2和概率密度函数p (x ) 解：将x (t )=x 0sin （ω0t +φ）写成（ω0t +φ）

=arcsin(x (t )/ x 0) 等式两边对x 求导数：

2.2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s ，2s ，5s 的正弦信号，问幅值误差将是多少？

解：()()()

ωωωτωωX Y j j H =+=+=135.01

11

()()2277.01135.011

??? ??+=+=πωωA

当T=1s 时，()41.01=ωA ，即x Y A A 41.0=，误差为59%

当T=2s 时，()67.02=ωA ，误差为33%

当T=5s 时，()90.03=ωA ，误差为8%

2.3求周期信号()() 45100cos 2.010cos 5.0-+=t t t x ，通过传递函数为

)(1)(1112200200

0t x x x t x x dx dt -=???

? ??-=ωω)(1221lim lim 1lim )(22000t x x dx dt T T t x T T x x p x x T x -=?=???=??

?????=→?∞→→?π

12 ()1

05.01+=s s H 的装置后所得到的稳态响应。 解： 利用叠加原理及频率保持性解题

()()() 45100sin 2.090

10sin 5.0+++=t t t x ()()()22005.01111

ωτωω+=+=A ，()()ωωφ005.0arctg -=

101=ω，()11=ωA ，()

86.21-ωφ ()() 86.29010sin 15.01-+??=t t x ，

1002=ω ，()89.02=ωA ，()

57.262-=ωφ ()() 4557.26100sin 89.02.02+-??=t t y

()()() 43.18100sin )178.0(14

.8710sin 5.0+-++=∴t t t y

2.7将信号t ωcos 输入一个传递函数为()121+=

s s H 的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出()t y 的表达式。

解： ()()() 90

sin cos +==t t t x ωω ()11+=s s H τ，()()

211τωω+=A ，()τωφarctg -= ()()()()τωωτωarctg t t y -++= 90sin 112

=

()()τωωτωarctg t -+cos 112

2.8求频率响应函数()()

2176157753601.013155072ωωω-++j j 的系统对正弦输入()()t t x 8.62sin 10=的稳态响应的均值显示。

解： 写成标准形式

()()()()[]22221n n n

j j j a H ω

ωξωωτωωω+++?=

12 ()()()()()21256125621256101.01222

?+?+-?+=ωξωωj j ∴ ()()2157753617612568.621101.08.6211

222?+??????????? ??-??+=ωA

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