概率论与数理统计第一章答案

习题一

1. 用三个事件

,,A B C 的运算表示下列事件： （1）

,,A B C 中至少有一个发生；（2）,,A B C 中只有A 发生； （3）

,,A B C 中恰好有两个发生；4）,,A B C 中至少有两个发生； （5）,,A B C 中至少有一个不发生；（6）

,,A B C 中不多于一个发生. 解：（1）A B C （2）ABC (3) ABC ABC CAB (4) AB BC CA (5) A B C (6) AB BC C A 2. 在区间[0,2]上任取一数x ， 记

1{|1},2A x x =<≤ 13{|}42B x x =≤≤，求下列事件的表达式： （1）AB ； （2）AB ； (3) A B .

解：（1）

{|1412132}x x x ≤≤<≤或 （2）?

（3）{|014121x x x ≤<<≤或

3. 已知

()0.4,()0.2,()0.1P A P BA P CAB ===，求()P A B C . 解：0.2()()P A P AB =-,

0.1()(())()()()()()()P C AB P C A

B P

C P CA CB P C P CA P CB P ABC -=-=-=--+ ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC =++---+ =

0.40.20.10.7++= 4. 已知()0.4,()0.25,()0.25P A P B P A B ==-=，求()P B A -与 ()P AB .

解：

()()()0.25P A B P A P AB -=-=, ()0.15P AB =,

()()()0.250.150.1P B A P B P AB -=-=-=,

()()1()()()P AB P A B P A P B P AB ==--+

10.40.250.150.5=--+=

5.将13个分别写有

,,,,,,,,,,,,A A A C E H I I M M N T T 的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“MATHEMATICIAN ”

的概率. 解：232224813!13!p ????=

=

6. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率.

解：

1254535099392C C p C == 7. 某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率.

解：

12

12312p =: 8. 在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率. 解：设i A 表示第i 次取到次品，1,2,3i =，

12395945()0.0461009998P A A A ==

9. 两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率. 解：

1112122214p ???== 10. 两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要6小时.假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率.

解：22246371(

)1()24416p -=-=-=

11. 任取两个不大于1的正数，求它们的积不大于2

9，且它们和不大于1的概率.

解：29xy ≤ ， 1x y +≤ ，所以 13x =，23x =

23131212ln 23939p dx x =+=+?

12. 设(),(),P A a P B b == 证明：1(|)a b P A B b +-≥.

证明： ()()()()()()()P AB P A P B P A B P A B P B P B +-=

=

()()11()P A P B a b P B b +-+-≥

≥

13. 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐汽车的概率分别为0.3, 0.2,0.1,0.4 .若坐火车来，迟到的概率是0.25；若坐船来，迟到的概率是0.3；若坐汽车来，迟到的概率是0.1；若坐飞机来，则不会迟到.求他迟到的概率.

解：0.30.250.20.30.10.10.145?+?+?=

14. 设10个考题签中有4个难答，3人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事件的概率：

（1）甲抽到难签；

（2）甲未抽到难签而乙抽到难签；

（3）甲、乙、丙均抽到难签.

解；（1）42105p =

= （2）64410915p == （3） 4321109830p ==

15. 发报台分别以概率和发出信号“＊”和“-” .由于通信系统受到干扰，当发出信号“＊”时，收报台未必收到信号“＊”，而是分别以概率和收到信号“＊”和“-”；同样，当发出信号“-”时，收报台分别以和收到信号“-”和“＊”.求： （1）收报台收到信号“＊”的概率；

（2）当收到信号“＊”时，发报台确实是发出信号“＊”的概率.

解：（1）0.60.80.40.10.52?+?=

（2）

0.48120.5213= 16. 设

,A B 相互独立，()0.6,()0.4P A B P B ==，求()P A . 解：()0.6()()()0.4()()P A B P A P B P AB P A P AB ==+-=+-

0.2()0.4()P A P A =-, 1()3P A =

17. 两两独立的三事件,,A B C 满足,ABC =?并且

1

()()()2P A P B P C ==<.

若9()16P A B C =

，求()P A .

解：293()3()16P A P A =- ,

216()16()30P A P A -+=

21()(,()34P A P A ==舍） 18、证明：

（1）若(|)()P A B P A >，则(|)()P B A P B >.

（2）若

(|)(|)P A B P A B =，则事件A 与B 相互独立. 证明：（1）()()()P AB P A P B > ,

()()()P AB P A P B > ()()()()

()()()P AB P A P B P B A P B P A P A >= (2) ()()P A B P A B =,

()()()1()P AB P A B P B P B -=- ()()()P AB P A P B =

19. 甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击.设甲、乙、丙的命中率分别为，，. 又飞机中1弹，2弹，3弹而坠毁的概率分别为，，

1. 若三人各向飞机射击一次，求：

（1）飞机坠毁的概率；

（2）已知飞机坠毁，求飞机被击中2弹的概率.

解：（1）0.2(0.40.50.30.60.50.30.60.50.7)

0.6(0.40.50.30.40.50.70.60.50.7)0.40.50.7

0.20.360.60.410.14

0.458??+??+??+??+??+??+??=?+?+=

（2） 0.60.410.540.458?=

20. 三人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为，，.求此密码能被译出的概率.

解： 0.250.350.40.250.650.60.750.350.6

0.750.650.40.250.350.60.250.650.4

0.750.350.4??+??+??+??+??+??+??

0.0350.09750.15750.1950.05250.0650.105

0.7075=++++++=

21. 在试验E 中，事件A 发生的概率为()P A p =，将试验E 独立重复进行三次，若在三次试验中“A 至少出现一次的概率为19

27”，求p . 解：00333191(1)1(1)27C p p p =--=--，

13p =

22. 已知某种灯泡的耐用时间在1000小时以上的概率为，求三个该型号的灯泡在使用1000小时以后至多有一个坏掉的概率.

解：

312

3

0.20.80.20.0830.80.040.104

C

+?=+??=

23. 设有两箱同种零件，在第一箱内装50件，其中有10件是一等品；在第二箱内装有30件，其中有18件是一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件，每次1个，求：

（1）第一次取出的零件是一等品的概率；

（2）已知第一次取出的零件是一等品，，第二次取出的零件也是一等品的概率.

解：（1）101181

0.4 502302

+=

(2) 5110911817519117 [][] 225049230294549529

+=+

19512612499

()0.4856 449295684

+

=+==

21.箱中有α个白球和β个黑球，从中不放回地接连取1(1)

k kαβ

++≤+

次球，每次1个.求最后取出的是白球的概率.

解：(1)(2)()

()(1)()

k

k

αβαβαβαα

αβαβαβαβ+-+-+-

=

++-+-+

22. 一 …… 此处隐藏：2907字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……