线性代数 概率论与数理统计 作业册 (参考答案)青岛理工大学

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第一章 行列式

第一节二阶与三阶行列式 第二节全排列及其逆序数

第三节n 阶行列式的定义第四节对换

1.求下列各排列的逆序数：

(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 （11;17; 2)

1(-n n ;)1(-n n ）

2. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) .

3.计算下列各阶行列式：

(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b 0a 0 (3)ef

cf bf de cd bd ae

ac ab --- [2000; 0; 4abcdef]

4. 设x

x x x x D 1111231

112

12-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .

5 求二次多项式()x f ，使得

()61=-f ，()21=f ，()32=f

解 设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得

?????=++=++=+-3

2426

c b a c b a c b a 求c b a ,,如下：

06124111111≠-=-=D ，61231121161-=-=D ，12

1

341211

612==D ，183

242116

113-=-=D

所以 11

==D D a ，22-==D D b ，33

==D D

c

~ 2 ~

故()322

+-=x x x f 为所求。

第五节 行列式的性质 第六节 行列式按行（列）展开 第七节克拉默法则

1.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ).

（A ）- （B ）+ （C ）n )1(- （D ）1)1(--n

2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，求33

3231312322212113

121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4---

[-12] 3. 已知4

52101113

0112

101--=D ，计算44434241A A A A +++ [-1]

4. 计算行列式 3

83326229

0432

231---- [-50]

5.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）

(1) a

11

a ,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0;

[2--n n a a ] (2) a

a a a

x a a

a x ;

[1)(--n a x a ] (3) n

1n 321a x x x x x

a x x x x

x a x x x

x x a x x

x x x a - [利用递推公式来求]

递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x D

~ 3 ~

n D =)1)(())((2121x

a x

x a x x a x x a x a x a n n -++-+-+

--- (4) n

22222322

2

222

2221

[)!2(-n ]

(5)

β

+ααββ

+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1

0000001000010

00010000

[n n n n βαββα

α++++--11

]

6.问λ，μ取何值时，齐次方程组???

??=+μ+=+μ+=++λ0

x x 2x 0x x x 0x x x 321

321321有非零解？ [0;1==μλ]

求每类商品的销售利润率。（去掉）

第二章 矩阵及其运算

第一节 矩阵 第二节 矩阵的运算

1. 以下结论正确的是（ C ）

（A ） 若方阵A 的行列式0=A ，则0=A 。 （B ） 若02

=A ，则0=A 。

（C ） 若A 为对称矩阵，则2

A 也是对称矩阵。

~ 4 ~

（D ） 对任意的同阶方阵A,B 有22))((B A B A B A -=-+

2. 设A=???? ??-310121，B=???? ??-121013，C=???

? ??-213112，计算(1) 2A-3B+2C ． [???

? ??--729037] 3．设A=????? ??321212113，B=????? ??-101012111，求AB-BA ． [????? ??---044402220] 4．设A=???? ??--143125，B=???

? ??--102023，计算AB T ，B T A ，A T A ，BB T +AB T ． [???? ??----71919; ????? ??-----14324101221; ????? ??--26262022234; ???? ??56613; ???? ??---2536] 5．若???? ??=4321A ，???

? ??=0110P ，那么=20042005AP P ???? ??2143 ． 6．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()=-21

2B A T 2 ． 7．已知53)(2+-=x x x f ，???

? ??=b a A 00，

则=)(A f ???? ??+-+-53005322b b a a . 8．A 为2005阶矩阵，且满足A A T -=，则=A 0 ．

9． 计算n

???? ??1011 解： 设 ???

? ??=1011A ， 则 ???

? ??=???? ?????? ??==1021101110112AA A ， ???? ??=???? ?????? ??==1031101110212

3A A A 假设???? ??-=-10111n A n ， 则 ???? ??=???? ?????? ??-==-101101110

111n n A A A n n ，

~ 5 ~

于是由归纳法知，对于任意正整数n ，有 ???

? ??=???? ??1011011n n

10．证明：若A 和B 都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换．(略)

11．证明：若A 和B 都是n 阶对称矩阵，则A+B ，A-2B 也是对称矩阵．（略） 12．已知A=P ΛQ 其中P=???? ??2132，Λ=???? ??-1001，Q=???

? ??--2132．QP=E ，计算A 2n ，A 2n+1 （n 为正整数）．

[????

??1001； ???

? ??--74127]

第三节 逆矩阵 第四节 分块矩阵

13．设A 、B 都是n 阶矩阵，问：下列命题是否成立？若成立给出证明；若不成立举反例说明．

(1) 若A 、B 皆不可逆，则A+B 也不可逆；(2) 若AB 不可逆，则A ，B 都可逆；

(3) 若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆；(4) 若A 可逆，则kA 可逆（k 是常数）． （略） 14．设P -1

AP=Λ，其中P=???? ??--1141，Λ=???? ??-2001，求A n ． （略） 15．设A 为3阶矩阵，且21=

A ，求*12)3(A A --. [2716-] 16．（1）若方阵A 满足0422=--E A A ，试证A+E 可逆，并求()1-+E A . （略）

（2）设A 是n 阶矩阵，且1-=A ，又1

-=A A T ，试证A+E 不可逆 （证明行列式等于零） 17．解矩阵方程 B AX =，其中????? ??=100210321A ，????? ??--=3152

41B 。 [????

? ??---3111094] 18．求下列矩阵的逆矩阵：

(1) ???? ??θθ-θθcos sin sin cos ； (2) ??????

? ?

?1000110001100011． [???? ??-θθθθcos sin sin cos ； ??????? ??----10001100111

01111] 19．利用逆矩阵解下列方程：

~ 6 ~

(1) ???

?

? ??-=????? ??---130112X 221021132． [???????

? ??----653611

311

] 20．设A k =0 (k 为正整数),证明：(E-A)-1=E+A+A 2+…+A k-1．

21．设方阵A 满足方程A 2-2A+4E=0．证明A+E 和A-3E 都是可逆的，并求它们的逆矩阵． 22．设方阵A 满足A 2-A-2E=0证明：

(1) A 和E-A 都可逆，并求它们的逆矩阵；(2) (A+E)和(A-2E)不同时可逆． 23．设幂零矩阵A 满足A k =0（k 为正整数），试证明E-A 可逆，并求其逆矩阵． 24．设A 是实对称矩阵，且A 2=0，证明A=0．

25．设 …… 此处隐藏：14503字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……