2022年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研冲刺密

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2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研冲刺密押题（一） (2)

2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研冲刺密押题（二） (8)

2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研冲刺密押题（三） (16)

2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研冲刺密押题（四） (23)

2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研冲刺密押题（五） (28)

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2017年山西师范大学数学与计算机科学学院619数学分析考研冲刺密押题（一）

注意：①本试题所有答案应写在答题纸上，不必抄题，写清题号，写在试卷上不得分；

②答卷需用黑色笔（钢笔，签字笔，圆珠笔）书写，用铅笔、红色笔等其他颜色笔答题，试题作废；

③答卷上不得做任何与答题无关的特殊符号或者标记，否则按零分处理；

④考试结束后试题随答题纸一起装入试题袋中交回。

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一、证明题

1． 若对任何充分小的

在

上连续.能否由此推出f 在内连续.

【答案】能.用反证法.假如f 在

内不连续，则必有某一点

是f 的间断点，令

则且

于是

是f 在区间

上的

一个间断点.这与题设矛盾，故f 在内连续.

2． 证明：函数在区间上一致连续的充要条件是：

只要

就有

【答案】

因为

在上一致连续，所以

只要

，

就有

对上述

由

可知

从而

此即为

用反证法.函数

在上不一致连续可表述为：

尽管

但

取

相应地存

在

满

足

显然

，

但

矛盾.

3． 设函数f 在(a ,b )上连续，且

证明f 在

内能取到最小值.

【答案】在(a ,b )

内任取一点

因为

取

则存在

，

使得

时有

同理，存在

使得当

时，有

由f 在(a ,b )上连续可知，f 在区间上连续，由闭区间连续函数的最值定理知，f

在

上有最小值点

即存在

对一切

都有

由式①，②，③知，f 在(a ,b )内能取得最小值.

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4． 设

且

求证：在

上一致连续.

【答案】

由

推知

使得当

时，有

又由

推知使得当时，有

另一方面，

因为函数

所以

在

上一致连续，

于是

使得

这样，当

且

时

①若.由⑴式得， ②若由(2)式得，

③若或

则有

由(3)式知根据定义，即得在

(一上一致连续.

二、解答题

5． 已知

试讨论函数，在原点(0,0)处是否连续？

【答案】首先证明

令

代入①的左端得

故①成立. 又因为

根据迫敛性可知，

所以函数

在原点

处连续.

6． 求下列函数在x=l 处的泰勒展开式：

【答案】

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所以f (x )在x= 1处的泰勒展开式为

(2)因

在

处的幂级数展开式为

所以

(3)因

而这

所以

7． 已知

其中

在点x=a 的某邻域内连续，求

【答案】因为

则

8． 设

其中

为由方程

听确定的隐函数，求

及

【答案】由方程

得

因

故

9． 一物体在某介质中按作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比.计算物体由

移至

时克服介质阻力所作的功。

【答案】

其中

故