大学物理第三版课后答案

仅供参考

习题一

1-1 ｜r ?｜与r ?有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v

有无不同?其不同在哪里?试举例说明．

解：（1）

r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即r ?12r r -=，12r r r -=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d .

t r

d d 只是速度在径向上的分量.

∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t ?r ?t

r t d d d d d d r r r += 式中t r

d d 就是速度径向上的分量， ∴t r t

d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-1图

(3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d =，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv

就是加速度的切向分量. (t t

r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求

出r ＝22y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度

的分量，再合成求得结果，即

=22d d d d ??? ??+??? ??t y t x 及a =222222d d d d ???? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=，

j t y i t x t r a j t y i t x t r v 222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴

故它们的模即为

2

22222222

222d d d d d d d d ???? ??+???? ??=+=??

? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 22d d d d t r a t r v == 其二，可能是将22d d d d t r t

r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明t r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22d d t r

也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分??????????? ??-=222d d d d t r t r a θ径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r 及速度v 的方向随间的变化率对速度、加速

度的贡献。

1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =21t 2+3t -4.

式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)． 解：（1）

j t t i t r )4321()53(2-+++=m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有 j i r 5.081-= m j j r 4112+=m j j r r r 5.4312+=-=?m (3)∵ j i r j j r 1617,4540+=-= ∴ 1

04s m 534201204-?+=+=--=??=j i j i r r t r v (4) 1

s m )3(3d d -?++==j t i t r v

则 j i v 734+= 1s m -? (5)∵ j i v j i v 73,3340

+=+= 2

04s m 1444-?==-=??=j v v t v a (6) 2

s m 1d d -?==j t v a

这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以0v (m ·1-s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知

222s h l +=

将上式对时间t 求导，得 t s s t

l l d d 2d d 2=

题1-4图

根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的，

∴ t s v v t l v d d ,d d 0-==-=船绳 即

θcos d d d d 0

0v v s l t l s l t s v ==-=-

=船 或 s v s h s lv v 02/1220)(+==船

将船v 再对t 求导，即得船的加速度 32022202

02002)(d d d d d d s v h s v s l s v s

lv s v v s t s l t

l s t v a =+-=+-=-==船船

1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2s m -?，x 的单位

为 m. 质点在x ＝0处，速度为101

s m -?,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵

x v v t x x v t v a d d d d d d d d ===

分离变量： x x adx d )62(d 2+==υυ 两边积分得 c x x v ++=322221

由题知，0=x 时，100

=v ,∴50=c ∴ 13s m 252-?++=x x v

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -?，开始运动时，x ＝5 m ， v =0，

求该质点在t ＝10s 时的速度和位置．

解：∵ t t v a 34d d +==

分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得 12234c t t v ++=

由题知，0=t ,00

=v ,∴01=c 故 2234t t v +

=

又因为

2

234d d t t t x v +== 分离变量， t t t x d )234(d 2+=

积分得 232212c t t x ++= 由题知 0=t ,50

=x ,∴52=c 故

521232++

=t t x

所以s 10=t 时 m 70551021102s m 190102

310432101

210=+?+?=?=?+

?=-x v

1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 θ=2+33t ，θ式中以弧度计，t 以秒计，求：(1) t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

解： t t t t 18d d ,9d d 2====ωβθω

(1)s 2=t 时， 2s m 362181-?=??==βτR a

)sin (sin 2cos 2sin

200t R t R R t v R t v x ωωθθθ-=-=-=2222s m 1296)29(1-?=??==ωR a n

(2)当加速度方向与半径成ο45角时，有145tan ==?n a a τ

即 βωR R =2 亦即

t t 18)9(22= 则解得 923=

t 于是角位移为

rad 67.29232323=?+=+=t θ 1-8 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2

021bt t v -的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧长,

0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于b ．

解：（1） bt v t s v -==0d d R bt v R v a b t

v a n 2

02)(d d -==-==τ 则 24

02

22)(R bt v b a a a n -+=+=τ 加速度与半径的夹角为

20)(arctan

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