概率论与数理统计_知识点总复习

1

随机事件和概率 第一节 基本概念

1、排列组合初步 （1）排列组合公式

)!

(!n m m P n

m -=

从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!

(!!

n m n m C n m

-=

从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m 3n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m 3n 种方法来完成。 (4)一些常见排列

① 特殊排列 相邻 彼此隔开

顺序一定和不可分辨

② 重复排列和非重复排列（有序） ③ 对立事件 ④ 顺序问题

2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （2）事件的关系与运算 ①关系：

如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：

B A ?

如果同时有B A ?，A B ?，则称事件A 与事件B 等价，

或称A 等于B ：A=B 。

A 、

B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。

属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发

生的事件。

A 、

B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可

能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它

表示A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：

∞

=∞==1

1

i i

i i A

A

B

A B A =，

B A B A =

3、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义

设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件

A 都有一个实

数P(A)，若满足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件

1A ，2A ，…有

∑∞=∞==???? ??11)(i i i i A P A P

常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）

1° {}n ωωω 21,=Ω

，

2° n

P P P n 1

)()()(21=

==ωωω 。 设任一事件

A ，它是由m ωωω 21,组成的，则有

P(A)=

{})()()(21m ωωω

=)()()(21m P P P ωωω+++

n

m =

基本事件总数所包含的基本事件数A =

4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B ?A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)

2

当A=Ω时，P(B )=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式

定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)

()

(A P AB P 为事件A

发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为

=

)/(A B P )

()

(A P AB P 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B /A)=1-P(B/A) 乘法公式：)/()()

(A B P A P AB P =

更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有

21(A A P …

)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

（4）全概公式

设事件n B B B ,,,21 满足

1°n B B B ,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i =>，

2°

n

i i

B A 1

=?，

则有 )

|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。

此公式即为全概率公式。 （5）贝叶斯公式

设事件1B ，2B ，…，n B 及A 满足

1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，)(Bi P >0，=i 1，

2，…，n ，

2° n

i i

B A 1

=?，0)

(>A P ，

则

∑==

n

j j j

i i i B A P B

P B A P B P A B P 1

)

/()()

/()()/(，i=1，2，…n 。

此公式即为贝叶斯公式。

)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。)/(A B P i ，

（1=i ，2，…，n ），通常称为后验概率。如果我们把A 当作观察的“结果”，而1B ，2B ，…，n B 理解为“原因”，则贝

叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

5、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性

设事件

A 、

B 满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、

B 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。

若事件

A 、

B 相互独立，且0)(>A P ，则有

)

()()

()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===

所以这与我们所理解的独立性是一致的。 若事件

A 、

B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A

与B 也都相互独立。（证明）

由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明）

同时，?与任何事件都互斥。 （2）多个事件的独立性

设ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A 、B 、C 相互独立。 对于n 个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？ （3）伯努利试验

定义 我们作了n 次试验，且满足 ◆ 每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生；

◆ n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一

样；

◆

每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次

试验

A 发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用

p

表示每次试验

A 发生的概率，则A

发生的概率为

q

p =-1，用

)

(k P n 表示

n

重伯努利试验中

A

出现

)0(n k k ≤≤次的概率， k

n k k

n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。

随机变量及其分布 第一节 基本概念

在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通 …… 此处隐藏：16115字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……