【成才之路】2014高中数学 1-3-1-1 函数的单调性能力强化提升 新

B ．一个都没有

C ．至多有一个

D ．可能会有两个或两个以上

[答案] C

[解析] 由条件知f (x )在A 上单调增，故f (x )的图象与x 轴至多有一个交点，故选C.

6．(2012～2013重庆市一中月考试题)定义域在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f a －f b a －b

＞0，则必有( ) A ．函数f (x )先增后减

B ．函数f (x )先减后增

C ．函数f (x )在R 上是增函数

D ．函数f (x )在R 上是减函数

[答案] C

[解析] 由f a －f b a －b ＞0，得????? a －b ＞0，f a －f b ＞0，或

????? a －b ＜0，f a －f b ＜0.

∴当a ＞b 时，f (a )＞f (b )；当a ＜b 时，f (a )＜f (b )，

∴f (x )在R 上单调递增，故选C.

7．(2012～2013黄中月考题)函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3)

B ．(0，＋∞)

C ．(3，＋∞)

D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) [答案] C

[解析] 因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.

8．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( )

A ．f (－1)

B ．f (1)

C ．f (2)

D ．f (1)

[解析] 因为二次函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)＝f (3)．又函数f (x )的图象为开口向上的抛物线，则f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，故f (1)

二、填空题

9．若f (x )＝?????

x －2 x ≥0x ＋1 x ＜0，则f (x )的单调增区间是________，单调减区间是________． [答案] (－∞，0]、[1，＋∞) [0,1]

[解析] 画出f (x )＝????? x －2 x x ＋x 的图象如图，可知f (x )在(－∞，0]

和[1，＋∞)上都是增函数，在[0,1]上是减函数.

10．已知函数f (x )＝4x 2

－mx ＋1，在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，则f (1)＝________.

[答案] 21

[解析] 由已知得－－m 2×4

＝－2，解得m ＝－16 ∴f (x )＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21.

11．已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34

)的大小关系为________．

[答案] f (a 2－a ＋1)≤f (34

) [解析] ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34

>0，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f (34

)． 12．已知f (x )是定义在R 上的增函数，下列结论中，①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x

是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数，其中错误的结论是________．

[答案] ①②④

三、解答题

13．如图分别为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，试写出函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间．

[分析] 根据函数的图象写出函数的单调区间，主要是观察图象，找到最高点或最低点的横坐标，便可得到一个单调区间，由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间．

[解析] 由题意，确定函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的单调增区间，即寻找图象呈上升趋势的一段图象．

由图(1)可知，在(1,4]和(4,6]内，y ＝f (x )是单调递增的．

由图(2)可知，在(－3π2，0)和(3π2，5π2

)内，y ＝g (x )是单调递增的． 14．求证：函数f (x )＝－1x

－1在区间(－∞，0)上是增函数． [证明] 设x 1，x 2为区间(－∞，0)上的任意两个值，且x 1

1x 1－1)－(－1x 2－1)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2

. 因为x 10，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

故函数f (x )＝－1x

－1在区间(－∞，0)上是增函数． 15．设f (x )在定义域内是减函数，且f (x )＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性

(1)y ＝f (x )＋a ；

(2)y ＝a －f (x )；

(3)y ＝[f (x )]2.

[解析] (1)y ＝f (x )＋a 是减函数，(2)y ＝a －f (x )是增函数．证明从略．

(3)设x 2＞x 1，f 2(x 2)－f 2(x 1)＝[f (x 2)＋f (x 1)][f (x 2)－f (x 1)]＜0，∴y ＝f 2(x )是减函数．

16．求下列函数的单调区间．

(1)y ＝|x 2－x －6|；(2)y ＝－x 2＋3|x |＋1.

[分析] 去绝对值→化为分段函数→作图象→求单调区间

[解析] (1)函数解析式变形为

y ＝????? －x 2＋x ＋－2≤x x 2－x －x ＜－2或x ＞

画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，12

]和[3，＋∞)；减区间为(－∞，－2)和[12

，3]．

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