2022高考数学考点突破——平面向量：平面向量的数量积学案

1 平面向量的数量积

【考点梳理】

1．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.

(2)几何意义：数量积a 2b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．

2．平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a 2b ＝b 2a ；

(2)数乘结合律：(λa )2b ＝λ(a 2b )＝a 2(λb )；

(3)分配律：a 2(b ＋c )＝a 2b ＋a 2c .

3．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.

考点一、平面向量数量积的运算

【例1】(1)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →2BC →的值为( )

A ．－58

B ．18

C ．14

D ．118

(2)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →2AP →的最大值为

________.

[答案] (1)B (2) 6

2 [解析] (1)如图所示，AF →＝AD →＋DF →

.

又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，

且DE ＝2EF ，所以AD →＝12AB →，DF →＝12AC →＋14AC →＝34

AC →， 所以AF →＝12AB →＋34

AC →. 又BC →＝AC →－AB →，

则AF →2BC →＝? ????12

AB →＋34AC →2(AC →－AB →) ＝12AB →2AC →－12AB →2＋34AC →2－34

AC →2AB → ＝34AC →2－12AB →2－14

AC →2AB →. 又|AB →|＝|AC →|＝1，∠BAC ＝60°，

故AF →2BC →＝34－12－143131312＝18

.故选B. (2)设P (cos α，sin α)，

∴AP →＝(cos α＋2，sin α)，

∴AO →2AP →＝(2，0)2(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，

当且仅当cos α＝1时取等号

.

【类题通法】

1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.

3 2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.

【对点训练】

1．线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →2BE →＝( )

A ．－32

B ．32

C ．－332

D ．332

[答案] A

[解析] 由等边三角形的性质得|AD →|＝|BE →|＝3，〈AD →，BE →〉＝120°，所以AD →2BE →＝|AD →||BE

→|cos 〈AD →，BE →〉＝3333? ??

??－12＝－32，故选A. 2．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →2CB →的值为________；DE →2DC

→的最大值为________．

[答案] 1 1

[解析] 法一：以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0，1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →2CB →

＝(

t ，－1)2(0，－1)＝1.

因为DC →＝(1,0)，所以DE →2DC →＝(t ，－1)2(1,0)＝t ≤1，

故DE →2DC →的最大值为1.

法二：由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，所以DE →2CB →＝

|CB

→|21＝1，

4 当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，

所以(DE →2DC →)max ＝|DC →|21＝1.

考点二、平面向量的夹角与垂直

【例2】(1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.

(2)已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π3

，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )

A ．－7

B ．－3

C ．2

D ．3

(3)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.

[答案] (1)2 (2)D (3)?

????－∞，－92∪? ????－92，3 [解析] (1)由题意，得－233＋3m ＝0，∴m ＝2.

(2)依题意得a 2b ＝2313cos 2π3

＝－1，(a ＋λb )2(2a －b )＝0，即2a 2－λb 2＋(2λ－1)a 2b ＝0，则－3λ＋9＝0，λ＝3.

(3)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )2c <0，

即(2k －3，－6)2(2，1)<0，解得k ＜3.

又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92

. 当k ＝－92

时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ， 即2a －3b 与c 反向.

综上，k 的取值范围为?

????－∞，－92∪? ????－92，3. 【类题通法】

1.根据平面向量数量积的性质：若a ，b 为非零向量，cos θ＝a 2b |a ||b |

(夹角公式)，a ⊥b ?a 2b ＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.

2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

【对点训练】

5 1．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )

A ．－8

B ．－6

C ．6

D ．8

[答案] D

[解析] 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．

因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )2b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.

法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )2b ＝0，即a2b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.

2．设向量a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________.

[答案] －2

[解析] ∵|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a2b ＝|a |2＋|b |2，

∴a2b ＝0.

又a ＝(m,1)，b ＝(1,2)，∴m ＋2＝0，∴m ＝－2.

3．已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为(

) A ．π3 B ．π2

C ．2π3

D ．5π6

[答案] C

[解析] ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a 2(2a ＋b )＝0，

∴2|a |2＋a 2b ＝0，

即2|a |2＋|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0.

∵|b |＝4|a |，∴2|a |2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0，

∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.

4．已知向量BA →＝? ????

1

2，32，BC →＝? ????

32，12，则∠ABC ＝( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

[答案] A

[解析] 因为BA →＝? ????

1

2，32，BC →＝? ????

3

2，12，所以BA →2BC →＝34＋34＝3

2.