现代信号处理 总结1

第1章 离散时间信号与系统

1、 傅里叶分析和Z 变换的区别、缺陷、特点

关系：点数为N 的有限长序列x(n)的Z 变换为X(z),而其离散傅里叶变换为X(k)，两者均表示了同一有限长序列x(n)的变换,它们之间的关系是:对z 变换在单位圆上取样可得DFT 。而DFT 的内插就是变换。

傅里叶变换优缺点

(1) 傅里叶变换缺乏时间和频率的定位功能 (2) 傅里叶变换对于非平稳信号的局限性

(3) 傅里叶变换在时间和频率分辨率上的局限性

傅立叶变换是最基本得变换，由傅里叶级数推导出。傅立叶级数只适用于周期信号，把非周期信号看成周期T 趋于无穷的周期信号，就推导出傅里叶变换，能很好的处理非周期信号的频谱。但是傅立叶变换的弱点是必须原信号必须绝对可积，因此适用范围不广。

Z 变换的本质是离散时间傅里叶变换（DTFT ），如果说拉普拉斯变换专门分析模拟信号，那Z 变换就是专门分析数字信号，Z 变换可以把离散卷积变成多项式乘法，对离散数字系统能发挥很好的作用。Z 变换看系统频率响应，就是令Z 在复频域的单位圆上跑一圈，即Z=e^(j2πf)，即可得到频率响应。 2、

系统的记忆性、因果性、可逆性

(1)

记忆性

如果系统在任意时刻n0

的响应仅与该时刻的输入f(n0)

有关，而与其它时刻的输入无关，则称该系统为非记忆系统（或系统

无记忆性），否则称为记忆系统。系统的记忆性有时也被称为动态特性。该特性强调系统的响应是否仅与当前时刻的输入有关。对于无记忆LTI 系统，其系统冲激响应为，其中

()()h n K n δ=，K 为一常数。由于系统频率响应是冲激响应

的傅氏变换、系统函数为系统冲激响应的z 变换，因此，无记忆LTI 系统的系统频率响应和系统函数分别为H(ω)=K ，

H(z)=K 。 (2) 因果性

如果系统任意时刻的响应与以后的输入无关，则该系统称为因果系统（或系统具有因果性），否则为非因果系统。该特性强调

的是，系统的响应是否与未来的输入有关。

对于因果LTI 系统，其系统冲激响应满足：h(n)=0，n<0。 系统冲激响应h(n)是一个右边信号，因此，因果LTI 系统的系统函数的收敛域为距原点最远的极点所在圆的圆外z 平面。同理，若系统是逆因果的，那么，其系统函数收敛域位于最接近原点的极点所在圆的圆内z 平面。 (3) 可逆性

设信号?1(n)、?2(n)通过系统的响应分别为y 1(n)、y 2(n)，如果?1(n)≠?2(n)，一定有y 1(n)≠y 2(n)成立，则称系统具有可逆性，或称为可逆系统。对于可逆系统，如果系统的响应已知，则可通过一个逆映射，求出原来的输入信号。这个逆映射便是原系统的逆系统。

若LTI 系统的冲激响应为h(n)，其逆系统的冲激响应为h inv (n)，则h(n)*h inv (n)=δ(n)；由时域卷积特性，逆系统的系统频率响应满足H(ω)H inv (ω)=1；逆系统的系统函数满足H(z)H inv (z)=1

第2章 离散时间平稳随机过程

1、 平稳随机过程的概念

平稳是随机过程的一个重要概念，描述的是随机过程的统计特性是否随时间变化，可分为严格平稳随机过程和广义平稳随机过程。严格平稳随机过程，是指()u n 任意M 个不同时刻取值的联合概率密度函数与起始时间无关。广义平稳随机过程也称为宽平稳随机过程或弱平

稳随机过程，需满足

。

2、 平稳随机过程中相关函数的性质

3、 平稳随机过程的自相关矩阵及其性质 (1) 自相关矩阵的定义

对离散时间平稳随机过程，用M 个时刻的随机变量构造随机向量

T ()[()(1)(1)]u n u n u n u n M =--+L

随机过程的自相关矩阵定义为

{}H E ()()n n =R u u

考虑平稳条件，得到相关矩阵的展开形式为

(0)

(1)(1)(1)(0)(2)C (1)(2)

(0)M M

r r r M r r r M r M r M r ?-????--?

?=∈??

?

?-+-+??

R L L M M O M L

其中，r(m)是随机过程的自相关函数，

{}*()E ()()r m u n u n m =-

根据相关函数共轭对称性，上式又可重写为

***

(0)

(1)(1)(1)(0)(2)(1)(2)

(0)r r r M r r r M R r M r M r -??

??-?

?=??

??--??

L L M M O M L

因此，对于一个平稳随机过程，只需自相关函数的M 个值就可

以完全确定相关矩阵R 。 (2) 自相关矩阵的基本性质

性质1 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Hermite 矩阵，即有

R H =R 。

证明：由自相关矩阵定义，有

性质2 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Toeplitz 矩阵。若一个方阵的主对角线元素相等，且平行于主对角线的斜线上的

元素也相等，则称其具有Toeplitz 性，称该方阵为Toeplitz 矩阵。

性质3 平稳离散时间随机过程的相关矩阵R 是非负定的，且几乎总是正定的。

性质4 将观测向量u(n)元素倒排，定义向量

T

B ()[(1)(2)()]u n u n M u n M u n =-+-+L

这里，下标B 表示对向量u(n)内各分量做反序排列

{}

H

B B B H **T MxM

E ()()(0)(1)(1)(0)(2)(1)(2)(0)n n r r r M r r r M r M r M r C =??

-?

?-??

=??

?

?--??

=∈L L M M O M L

R u u R

性质5 平稳离散时间随机过程的自相关矩阵R

从M 维扩展为M+1维，有如下递推关系

H 1(0)M M r +??=??

??r R r

R 或等价地

*

B 1T

B

(0)M

M r +??=????

R r R r 其中

[]

H T B (1)(2)()[()(1)(1)]

r r r M r r M r M r ==--+-L

L

r

4、 随机过程的平均功率

{}2P()E |()|(,)n u n r n n ==

{}2P E |()|(0)u n r ==

5、 随机过程间的独立、正交、相关 (1) 独立

当两个随机事件的发生彼此独立时，则其对应的两个实随机变量U 、V 是相互统计独立的。它们的联合概率密度函数p{u,v}等于U 的概率密度函数p(u)和V 的概率密度函数p(v)之积，即

p(u,v)=p(u)p(v)

由上式容易推导出,，E{UV }= E{U } E{V } (2) 正交

如果两个随机变量U 、V 是相互正交的，则有E{UV}=0

两个随机变量U 、V 的相关系数定义为

cov{,}var{}var{}u v U V U V ρσσ==

其中，|ρ|≤1，U 的均值和方差分别为u μ和

2u σ

，V 的均值和方差分别为u μ和2u

σ， cov{U,V}为随机变量U 、V 的互协方差，定义为()(){}

cov{,}E u v U V U V μμ=--

(3) 相关

两个随机变量之间的相关性定义如下 当ρ=0时，两个随机变量U 、V 不相关。

当|ρ|=1时，两个随机变量U 、V 完全相关，此时称两个随机变量U 、V 是相干的。

当0<|ρ|<1时，两个随机变量U 、V 是相关的。 (4) 性质

性质1 统计独立必然统计不相关，但逆命题一般不成立。

性质2 对于高斯随机变量，统计独立与不相关等价。

性质3 如果两个随机变量中有一个均值为零，则统计不相关和正交等价。

性质4 如果两个高斯随机变量中有一个均值为零，则统计独立、不相关和正交三者 …… 此处隐藏：7669字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……