数学模型第二章习题答案

第一章作业解答第 1 页 共 56 页 第二章(2)（2008年10月9日）

15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.

解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为:

[P]=32-T ML , [v ]=1-LT ,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.

量纲矩阵为：

A=)

??????????---ρ()()

()()()()(001

310013212s v P T M L

齐次线性方程组为： ??

???=--=+=-++030

032221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y

由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 1

13ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数.

16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2

,其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为

A=)

()()()()

()()(210101101131g v T M L μρ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即

?????==+=+02y -y - y -0

y y 0y y -3y -y 431

324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)

第一章作业解答第 2 页 共 56 页 由量纲i P 定理 得 g v μρπ13--=. 3ρ

μλg v =∴，其中λ是无量纲常数. 16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.

解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为

[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2 其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)()()()()

()()()(21001

110011311g v T M L μργ??????????----- 齐次线性方程组Ay=0 即 ??

???=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为

??

???---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y 得到两个相互独立的无量纲量

???==-----2/112/322

/12/11g g v μργ

πγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(12

1-=π?π ∴ )(12/12/3-=

μργ?γυg g , 其中?是未定函数.

20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为

0),,,,(=k g m l t f

第一章作业解答第 3 页 共 56 页 其量纲表达式为：

112120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t 10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.

量纲矩阵为

A=)

()()()()()

()()(120011010001010k g m l t T M L ??????????-- 齐次线性方程组

?????=--=+=+0200541

5342y y y y y y y 的基本解为

??

???--=-=)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21Y Y 得到两个相互独立的无量纲量

∴g l t =1π, )(21π?π=, 2

/12

/12mg kl =π ∴)(2/12

/1mg kl g l t ?=

，其中?是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为

t ,'t ；l ,'l ;m ,'m . 又)(2/12/1g m l k g l t '''=

'? 当无量纲量l l m m '='时， 就有 l l l g g l t

t '=?'='. 《数学模型》作业解答

第三章1（2008年10月14日）

???==---2

2/112/112/12/1ππk g m l g tl

第一章作业解答第 4 页 共 56 页 1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货

批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．

解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．

01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：

kr rT c T c T C ++=2

)(21 2221

r c T

c dT dC +-= 令0=dT

dC ， 解得 r c c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c r c rT Q =

=** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．

02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：

??

????+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),( 2223322221222T

kQ rT Q c r c rT Q c T c T C --+--=?? T

k rT Q c c rT Q c Q C ++-=??332 令???????=??=??00Q

C T C ， 得到驻点： ???????+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c kr c c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T

与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．

第一章作业解答第 5 页 共 56 页

2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.

解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：

贮存费为 ∑?=→??-==?

i T i i t T T r k c dt t g c t g c 102

2022))()(lim ξ 又 )()(00T T r T r k -=-

∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 k

T T r k r c 2)(2?-= 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为

k

T r k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+= k r k r c T

c dT dC 2)(221

-+-=. 0=dT dC 令 , 得)

(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )

(221r k r c k c T -=* r

c c ，T r k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况.

第一章作业解答第 6 页 共 56 页 ∞→≈*，T r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.

第三章2（2008年10月16日）

3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.

解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1

)(+=b k b λ， 分母∞→→+λ …… 此处隐藏：12128字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……