高中数学第2章函数5简单的幂函数学案北师大版必修1

§5简单的幕函数

自主预习新

匚新切初探二

1 .幕函数

阅读教材P49?"例1”结束之间的内容，完成下列问题.

⑴幕函数的定义

如果一个函数，底数是自变量X,指数是常量a，即y = x",这样的函数称为幕函数.

（2）简单的幕函数的图像和性质

2 3 1 — 1 .. .-. .-.

函数y = x, y = x , y = x , y= x g, y= x 在同一平面直角坐标系中的图像如图所示:

思考1:当>0时，幕函数= "的单调性与指数又有何关系?

- 1 -

［提示］当a >0时，幕函数y = x"在(0，+m )上单调递增；

当a <0时，幕函数y = X"在(0，+m )上单调递减.

2 .函数的奇偶性

阅读教材P49从“可以看出”?F50 “练习”以上的有关内容，完成下列问题.

(1) 图像

奇函数f (x)的图像偶函数.

(2) 解析式

奇函数f ( —x) =-f(x).

偶函数f ( —x) = f (x).

(3) 奇偶性

当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶T ____

思考2: (1)若对定义域的任意x都有f( —x) + f(x) = 0，则f(x)是否是奇函数？

(2)你认为应怎样判断函数的奇偶性？

［提示］⑴是奇函数.由f( —x) + f (x) = 0,得f( —x) =—f(x).所以，对定义域内的任意X,点(x, f(x))与点(一x,—f ( —x))关于原点对称，所以，函数f (x)的图像关于原点对称，所以，f(x)是奇函数.

(2)第一步：求函数的定义域，并判断是否关于原点对称；

第二步：若关于原点对称，则求f( —x)，并判断是否恒等于f(x)或一f(x)；

第三步：若f ( —x) =—f (x)，则f (x)是奇函数；

若f ( —x) = f (x)，则f (x)是偶函数；

否则，既不是奇函数，也不是偶函数.

1.下列函数中，是偶函数的是()

2

A. y = x (x>0)

B. y = | x —1|

1 3

C. y = 2

D. y = x

1 + x

1

C [令f (x) = 1+孑，则其定义域是R,

1 1

又f ( —x) = 2=. 2= f (x),

1 + —x 1 + x

则f(x)是偶函数.]

2 .已知f(x)是定义在R上的奇函数，贝U f (0) = _________

0 [由f (x)是奇函数，得f( —0) = —f (0),

???2f (0) = 0,

- 2 -

二f(0) = 0.]

3.已知y= (m—l)x m是幕函数，则mi= __________ .

2 [依题意，m i-1 = 1,解得mi= 2.]

4?设aj—1,1, 1, 3靑则使函数y= x"的定义域为R,且为奇函数的所有a的值

为________ .

1

1或3 [当a =—1, 2时，y=x "定义域分别为(―汽0)u(0,+^), [0,+^)不合

题意；

当a = 1,3时，y = x “定义域均为R,且都是奇函数，符合题意，所以 a = 1或3.]

合作探究时昱素希

【例1】已知函数() = (——1)—2—1是幕函数，且是偶函数，求f(x)的解析式.

[解]依题意，有

m—m—1 = 1,

解得m= 2或—1.

当m= 2时，f (x) = x—1，不是偶函数；

当m=—1时，f(x) = x2,是偶函数.

综上，得im= —1.

1 .形如y= x"的函数叫幕函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为

自变量x.

2 ?求幕函数的解析式常利用幕函数的图像特征或性质确定指数的特征值.

1 . (1)下列函数中是幕函数的为 __________ .

1 2 2 2 3

① y= X3;② y= 2x ;③ y = X3;④ y = x + x :⑤ y=—x .

3 3

⑵若幕函数f (x)的图像经过点(2,2边)，则f (9) = ______________ .

①③(2) 27 [(1)根据幕函数的三个特点只有①③符合，②④⑤不符合.

(2)设f(x) = x “,

则2a = 2 2,

- 3 -

- 3

所以a = ,

- 4 -

- 5 -

3 3

所以 f (x )= X 2?所以 f (9) = 92= 33= 27.

【例2】(1)如图，图中曲线是幕函数 y = X "在第一象限的大致图像，已知 a 取一2, —f ，2 2四个值，则相应于曲线 C ，C 2，C 3，C 4的a 的值依次为( )

解决幕函数图像问题应把握的两个原则

1依据图像高低判断幕指数大小，相关结论为：①在 (J, 1上，指数越大，幕函数

图像越靠近x 轴 简记为指大图低 ；②在 1,+旳 上，指数越大，幕函数图像越远离

x A . —2, 1 1

2，2, 2

B .

1

2— 2 C.

1

2, D. 1

—2,— 2

已知点(2, 2)在幕函数f (x )的图像上，点 —2, 1

在幕函数g (x )的图像上，当x

为何值时：① f (x )> g (x )；②f (x ) = g (x )；③f (x )

2 1 1 — 2

(1) B ［令 x = 2,则 2 >22>2— 2>2—

, 1

故相应于曲线 C , C , G, C 4的a 的值依次为2,

1 2, — 2.故选 B. (2)设f (x ) = x ( a 是常数)，则(』2) = 2,解得a

同理，可得g (x ) = x ，定义域为(—a, 0) U (0,+^). 2 =2,所以f (x ) = x ,定义域为R;

知:

在同一平面直角坐标系中作出函数

f (x ) = x 2与

g (x ) =x — 1的图像(如图所示)，由图像可 ①当 ②当 x <0或 x >1 时，f (x )>g (x );

x = 1 时，f (x ) = g (x )；

③当 0

- 6 -

1

所以，函数f (x ) = x + x 是奇函数.

⑵函数的定义域为R.

2 2

又 f ( — x ) = ( — x ) +1 = x + 1 = f (x ),

轴简记为指大图高

2依据图像确定幕指数 a 与0, 1的大小关系，即根据幕函数在第一象限内的图像 类似于 y = x _1或y = x _1+y = x 3 来判断.

2. (1)若幕函数y =(m + 3m^ 3) xn i + 2 m- 3的图像不过原点，且关于原点对称，则 取值是( )

A . n = — 2

B . n =- 1

C. n =- 2 或 n =- 1

D.— 3< me - 1

_ 2 2 m^ 1

⑵ 已知幕函数y = (m — 5n — 5)x 在(0 ,+^)上是递减的，则实数 n =(

A . 1

B .— 1

C. 6

D.— 1 或 6

(1) A (2) B [(1)由题意知 ■ ■ 2

m + 2m- 3< 0,

m + 3m^ 3 = 1,

—3< m e 1, 即

1 m=— 1或一

2. 当m=— 1时，

y = x —4的图像关于y 轴对称(舍去)；

当m=— 2时，

y = x —3的图像关于原点对称，符合题意.

(2)由题意知 2m^ 1<0,

；?2

m — 5m- 5=

所以m=— 1.]

【例3】 判断下列函数的奇偶性

(1) f (x ) = x +1;⑵ f (x ) = x 2+ 1; (3) f (x ) = x + 1;

2

⑷ f (x ) = x , x …… 此处隐藏：1397字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……