微积分一练习题及答案

f x f x ； C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；

D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ；

6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()

1lim -=-'→a x x f a x ，则下列结论成立的有（

） A ．a x =是()x f 的极小值点； B ．a x =是()x f 的极大值点；

. .

页脚 C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；

D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点；

二．填空：

1．设??

? ??

=x f y 1arcsin ，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y

3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为

4．曲线()2142

-+=

x x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f

三．计算题：

（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→??? ??-x x x x

（3）x

x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy

（5）053=-+x y e xy 求0=x dx dy

四．试确定a ，b ，使函数()()?

?

?<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连续且可导。 五．试证明不等式：当1>x 时，()e xe 21e x e x x +<

六．设()()()()a x a x a f x f x F >--=,，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 存在

且大于零，求证()x F 在()+∞,a 单调递增。

. .

页脚

《微积分》练习题参考答案

七．单项选择题 1．（ B ）2．（ C ）3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ） 八．填空：（每小题3分，共15分） 1． ??? ?

?

'--

x f x x 1arcsin 11

2

2． ()06=y 3． 12+=x y 4． 2-=y ， 0=x

5． ()x e x f +='1，()c e x x f x ++=

三,计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）3

2lim +∞→??

?

??-x x x x

2

1222lim 3

21lim

122

1=+=-+-→→x x x x x x x ()2

62lim 3223

)21(lim 2lim -+-

+??

?

??-?-∞→+∞→==-=??

? ??-∞→e e x

x x x x x x x x x x x （3）x x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]2

21ln x y -= 求dy

3

1

3lim 3sin )1ln(lim 2

020=

?=+→→x x x x x x x x ()[]()()[]dx x x dx x x dy 2121ln 4221121ln 2---=-?-?-= （5）053=-+x y e

xy

求

=x dx

dy

()xy

xy

xy xe y ye y y y y x y e +-='?=-'+'+2

235053

又10-=?

=y x

. .

页脚 2351020

=+-='-===y x xy xy x xe y ye y

（ 九．试确定a ，b ，使函数()()?

?

?<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连续且可导。 （8分） 解：()()[]22sin 1lim 000

++=+++=++→b a a x b f x ()[]

01lim 000=-=--→ax x e f ， 函数()x f 在0=x 处连续()()0000-=+f f 02=++b a ， （1） ()()[][]b x

a b a x b f x =++-+++='+→+22sin 1lim 00 ()[]a x

e x b a e

f ax x ax x =-=++--='→→--1lim 21lim 000 函数()x f 在0=x 处可导()()00-+'='f f ，故b a = （2） 由（1）（2）知1-==b a

十．试证明不等式：当1>x 时，()e xe 21e x e x x +<

()()()111-<-=-<-x e x e e e x e x x ξ ()x ,1∈ξ 整理得：()e xe 21e x e x x +<

()()10>>-='x e e x f x 故()ex e x f x -=在1>x 时，为增函数， ()()01=>-=f ex e x f x ，即ex e x >

设()()

e xe e x

f x x +-=21 ()()()()1012121><-=+-='x x e xe e e x f x x x x 故()()e xe e x f x x +-=21在1>x 时，为减函数，

()()()0121=<+-=f xe e e x f x x x ，即()e xe 2

1e x x +<

. .

页脚 综上，()e xe 21e x e x x +<

十一． 设()()()()a x a

x a f x f x F >--=，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，()x f ''在()+∞,a 存在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 单调递增。 （5分）

证：()()()()()()2)

(a x a f x f a x x f x F ----'=' ()()()()()x a a x a x f a x x f <<--'--'=ξξ2)

( ()()a

x f x f -'-'=ξ ()()()x a

x x f <<>--''=ηξξη0 故()x F 在()+∞,a 单调递增。