同济第六版《高等数学》教案WORD版-第10章-曲线积分与曲面积分

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1 / 41 第十章 曲线积分与曲面积分

教学目的：

1.

理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2.

掌握计算两类曲线积分的方法。 3.

熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。 4.

了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。 5.

知道散度与旋度的概念，并会计算。 6． 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。

教学重点:

1、两类曲线积分的计算方法；

2、格林公式及其应用；

3、两类曲面积分的计算方法；

4、高斯公式、斯托克斯公式；

5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。

教学难点：

1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；

2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；

3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分；

4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；

5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。

§10.1 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线形构件的质量:

设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上,已知曲线形构件在点(x ,y )处的线密度为μ(x ,y ). 求曲线形构件的质量.

把曲线分成n 小段,?s 1,?s 2,???,?s n (?s i 也表示弧长);

任取(ξi ,ηi )∈?s i , 得第i 小段质量的近似值μ(ξi ,ηi )?s i ;

整个物质曲线的质量近似为i i i n i s M ?≈=∑),(1ηξμ;

令λ=max{?s 1,?s 2,???,?s n }→0, 则整个物质曲线的质量为

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2 / 41 i i i n

i s M ?==→∑),(lim 10ηξμλ. 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.

定义 设L 为xOy 面内的一条光滑曲线弧,函数f (x ,y )在L 上有界.在L 上任意插入一点列M 1,M 2,???,M n -1把L 分在n 个小段. 设第i 个小段的长度为?s i ,又(ξi ,ηi )为第i 个小段上任意取定的一点,作乘积f (ξi ,ηi )?s i ,(i =1, 2,???,n ),并作和i i i n

i s f ?=∑),(1ηξ,如果当各小弧段的长度的最

大值λ→0,这和的极限总存在,则称此极限为函数f (x ,y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作ds y x f L ),(?,即i i i n

i L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(10ηξλ. 其中f (x ,y )叫做被积函数,L 叫做积分弧段.

设函数f (x ,y )定义在可求长度的曲线L 上,并且有界.

将L 任意分成n 个弧段:?s 1,?s 2,???,?s n ,并用?s i 表示第i 段的弧长;

在每一弧段?s i 上任取一点(ξi ,ηi ),作和i i i n

i s f ?=∑),(1ηξ;

令λ=max{?s 1,?s 2,???,?s n },如果当λ→0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f (x ,y )在曲线弧L 上对弧长的

曲线积分或第一类曲线积分,记作

ds y x f L ),(?,即 i i i n i L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(1

0ηξλ. 其中f (x ,y )叫做被积函数,L 叫做积分弧段.

曲线积分的存在性:当f (x ,y )在光滑曲线弧L 上连续时,对弧长的曲线积分

ds y x f L ),(?是存在的. 以后我们总假定f (x ,y )在L 上是连续的.

根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L ),(?μ的值, 其中μ(x ,y )为线密度.

对弧长的曲线积分的推广:i i i i n i s f ds z y x f ?==→Γ∑?),,(lim ),,(1

0ζηξλ.

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3 / 41 如果L (或Γ)是分段光滑的, 则规定函数在L (或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1及L 2,则规定

ds y x f ds y x f ds y x f L L L L ),(),(),(2

121???+=+. 闭曲线积分:如果L 是闭曲线,那么函数f (x ,y )在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作 ds y x f L ),(?.

对弧长的曲线积分的性质:

性质1 设c 1、c 2为常数, 则

ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121???+=+;

性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则

ds y x f ds y x f ds y x f L L L ),(),(),(2

1???+=; 性质3设在L 上f (x ,y )≤g (x ,y ), 则

??≤L L ds y x g ds y x f ),(),(.

特别地, 有

??≤L

L ds y x f ds y x f |),(||),(| 二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f (x ,y ), 则曲线形构件L 的质量为

?L ds y x f ),(.

另一方面,若曲线L 的参数方程为

x =?(t ),y =ψ (t )(α≤t ≤β),

则质量元素为

dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψ?ψ?'+'=,

曲线的质量为

?'+'βαψ?ψ?dt t t t t f )()()]( ),([22. 即??'+'=β

αψ?ψ?dt t t t t f ds y x f L )()()]( ),([),(22.

………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 4 / 41 定理设f (x ,y )在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为

x =?(t ),y =ψ(t ) (α≤t ≤β),

其中?(t )、ψ(t )在[α,β]上具有一阶连续导数,且?'2(t )+ψ'2(t )≠0,则曲线积分

ds y x f L ),(?存在,

且 dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψ?ψ?β

α'+'=??(α<β). 证明（略）

应注意的问题:定积分的下限α一定要小于上限β.

讨论:

(1)若曲线L 的方程为y =ψ(x )(a ≤x ≤b ),则

ds y x f L ),(?=?

提示:L 的参数方程为x =x ,y =ψ(x )(a ≤x ≤b ), dx x x x f ds y x f b

a L ??'+=)(1)](,[),(2ψψ. (2)若曲线L 的方程为x =?(y )(c ≤y ≤d ),则

ds y x f L ),(?=?

提示:L 的参数方程为x =?(y ),y =y (c ≤y ≤d ), dy y y y f ds y x f d c L

??+'=1)(]),([),(2??. (3)若曲Γ的方程为x =?(t ),y =ψ(t ),z =ω(t )(α≤t ≤β), 则ds z y x f ),,(?Γ=?

提示:dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψ?ωψ?βα'+'+'=??Γ.

例1计算ds y L

?,其中L 是抛物线y =x 2上点O (0, 0)与点B (1, 1)之间的一段弧. 解曲线的方程为y =x 2 (0≤x ≤1),因此 ??'+=1

0222)(1dx x x ds y L ?+=1

0241dx x x )155(121-=. 例2计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度为μ=1). 解取坐标系如图所示,则?=

L ds y I 2. 曲线L 的参数方程为

x =R cos θ,y =R sin θ (-α≤θ<α).