2013高考真题分类汇编导数在研究函数中的应用

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导数在研究函数中的应用

1. （2013·辽宁高考理科·Ｔ12）设函数()f x 满足2

2

()2(),(2).8x e e x f x xf x f x '+==则x>0时,f(x)（ ）

.A 有极大值，无极小值 .B 有极小值，无极大值

.C 既有极大值又有极小值 .D 既无极大值也无极小值

【解题指南】结合题目条件，观察式子的特点，构造函数，利用导数研究极值问题。

【解析】选D.由题意知233

2()2()()x x e f x e x f x f x x x x -￠=-=， x 2x 22g(x)e 2x f (x),g '(x)e 2x f '(x)4xf (x 2(()2())

22(1).)

x x x x e x f x xf x e e e x x 则令￠==--+=-=-=--

由()0g x ￠=得2x =,当2x =时,

2

22min ()2208

e g x e =-创= 即()0g x 3,则当0x >时,3()()0g x

f x x ￠=

, 故()f x 在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.

2. （2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ12）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ11）相同

已知函数???>+≤+-=0

),1ln(0,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是（ ） A.]0,(-∞ B. ]1,(-∞ C. ]1,2[- D. ]0,2[-

【解题指南】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象，利用|)(|x f 在)0,0(处的切线为制定参数的标准.

【解析】选D.画出函数y=|f(x)|的图象如图所示,当0≤x 时，

x x x f x g 2|)(|)(2-==，

22)(-='x x g ，2)0(-='g ，故2-≥a .

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- 2 - 当0>x 时，)1ln(|)(|)(+==x x f x g ，1

1)(+='x x g 由于)(x g 上任意点的切线斜率都要大于a ，所以0≤a ，综上02≤≤-a .

3. （2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ11）与(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T10)相同 设已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）

A.0x R ?∈，0()0f x =

B.函数()y f x =的图象是中心对称图形

C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减

D.若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=

【解析】选C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.

A 项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x 0∈R,使f(x 0)=0,A 正确.

B 项,假设函数

f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)a m n =-- 将函数的图象平移,则所得函数

y=f(x+m)-n 是奇函数,所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化简得(3m+a)x 2+m 3+am 2+bm+c-n=0.上式对x ∈R 恒成立,故3m+a=0,得m=-

3a ,n=m 3+am 2+bm+c=f 3a ??- ???,所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的对称中心为,33a a f ????-- ? ?????

,故y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()f x '=3x 2+2ax+b 是二次函数,f(x)有极小值点x 0,必定有一个极大值点x 1,若x 1

4.（2013·安徽高考文科·Ｔ10）已知函数32()=+a +bx+f x x x c 有两个极值点1x ，2x ，若112()=f x x x <，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( )

A.3

B.4

C. 5

D.6

【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.

【解析】选A 。因为2'()32f x x ax b =++，函数的两个极值点为12,x x ，所以12()0,()0f x f x ''==，

所以12,x x 是方程2320x a x b ++=的两根，所以解方程23(())2()0

f x a f x b ++=得12()()f x x f x x ==或，由上述可知函数f(x)在(-∞,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减.又f(x 1)=x 1

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数形结合可知f(x)=x 1有两个不同实根,f(x)=x 2有一个实根,所以不同实根的个数为3.

5.（2013·安徽高考理科·Ｔ10）若函数32()=+a +bx+f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程23(())+2a ()+=0f x f x b 的不同实根个数是 ( )

A.3

B.4

C. 5

D.6

【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出f(x)=x 1或f(x)=x 2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.

【解析】选A 。因为2'()32f x x ax b =++，函数的两个极值点为12,x x ，所以12()0,()0f x f x ''== ，

所以12,x x 是方程2320x a x b ++=的两根，所以解方程23(())2()0

f x a f x b ++=得12()()f x x f x x ==或，不妨设 12.x x <由题意知函数f(x)在(-∞,x 1),(x 2,+∞)上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减.又f(x 1)=x 1

,

数形结合可知f(x)=x 1有两个不同实根,f(x)=x 2有一个实根,所以不同实根的个数为3. 6.（2013·湖北高考理科·Ｔ10）已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）

A. 121()0,()2f x f x >>-

B. 121()0,()2f x f x <<-

C. 121()0,()2f x f x ><-

D. 121()0,()2f x f x <>-

【解析】选 D. 1f '(x)ln x ax x(a)ln x 12ax(x 0)x

=-+-=+->，令0)('=x f ，由题意可得12ln -=ax x 有两个实数解x 1,x 2?函数g(x)=lnx+1-2ax 有且只有两个零点

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- 4 - ?g(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0, g'(x)=1x -2a=12ax ,x

- . ①当a ≤0时,g (x)'>0, f (x)'单调递增, 因此g(x)= f (x)'至多有一个零点,不符合题意,应舍去. ②当a>0时,令g (x)'=0,解得x=

1,2a 因为1(0,

),g (x)02a x ∈'>，,函数g(x)单调递增; 1(,)2a

x +∞∈时，g (x)0'<，函数g(x)单调递减. 所以x=

12a 是函数g(x)的极大值点,则g 12a ?? ???>0, 即ln 12a

+1-1=-ln(2a)>0, 所以ln(2a)<0, 所以0<2a<1,即0

12 因为0

f'(x 2)=lnx 2+1-2ax 2=0.

则f(x 1)=x 1(lnx 1-ax 1)=x 1(2ax 1-1-ax 1)

=x 1(ax 1-1)< 111a 10,2a 2a 2a ???-=-< ???

f(x 2)=x 2(lnx 2-ax 2)=x 2(ax 2-1)>1×111a 11.2a 22a ?????-=-> ? ?????

7. （2013·天津高考文科·Ｔ8）设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ）

A. ()0()g a f b <<

B. ()0()f b g a <<

C. 0()()g a f b <<

D. ()()0f b g a <<

【解题指南】先由()0,()0f a g b ==确定a,b 的大小，再结合22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=的单调性进行判断.

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- 5 - 【解析】选A. 因为0,(1)'=+>x f x e 所以()2=+-x f x e x 在其定义域内是单调递增的，由()0=f a 知01,g x x x

，故2()ln 3=+-g x x x 在(0,)+∞上也是单调递增的，由

()0

=g b 知12<

( )