密度矩阵相关计算

密度矩阵,Pauli矩阵,自旋算符,阵迹计算,混合态,本征态,纯态

高等量子力学 (第二章)第二章 量子力学的理论构架§2-1 表象理论 §2-2 二次量子化 §2-3 密度矩阵 §2-4 路径积分与格林函数

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§2-3 密度矩阵(算符)1、纯态与混合态迄今为止，研究的对象基本上是一个粒子，它的状态总是用希尔伯特空间 的一个态矢量来表示，这些态矢量满足叠加原理，把这些状态称之为纯态。 例如：

| c1 | 1 c2 | 2 为纯态，|

(1 )

也是纯态。总之，凡是能用希尔伯特空间的一 个矢量描述的状态都是纯态。在一个纯态 | 之上，力学量 F 的取值是以概| 1 其中， , | 2 率的形式表现的，这就意味着，对单个粒子的预言是与大量粒子构成的系综的统

计平均相联系的，或者说，量子力学具有统计的性质。从统计规律性的角度看，由纯态所描述的统计系综称为纯粹系综。例如，在 Stern-Gerlach 实验中，当原子 束通过磁场后，每个原子的自旋都指向同一个方向，即束流的完全被极化的，此 时，可以把体系理解为纯粹系综。

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以上纯态和本征态的定义是不一样的，本征 态一定是纯态，但纯态一般不是本征态，而 是多个本征态的线性组合

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Stern-Gerlach实验 证明电子有自旋角动量的实验使电中性银原子在电炉内蒸发 射出，通过狭缝S1、S2形成 细束，经过一个抽成真空的不 均匀的磁场区域(磁场垂直于 射束方向),最后到达照相底 片上。显像后的底片上出现了 两条黑斑，表示银原子经过不 均匀磁场区域时分成了两束。 当时测得银、铜、金和碱金属 的原子磁矩分量的大小都等于 一个玻尔磁子，它们的原子束 都只分裂为对称的两束。 斯特恩-革拉赫实验说明，原子磁矩取值和自旋磁 矩取值无法同时确定。这句话是怎么得来的？

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实际上，有时候会遇到更为复杂的情况，假设许多原子刚从一个热炉子中蒸 发出来，它们的自旋取向是无规律的，如何描述这种非极化的束流呢？为了使问

题更具有普遍意义，上述问题可概括为，当体系以态 | 1 ,以

称其中的每一个| i 为 参与态 。这样的状态是无法用希尔伯特空间的一个态矢 应的统计系综为混合系综。

p2 的概率处于状态 | 2

,…..以

pn

p1 的概率(或权重)处于状

的概率处于状态 | n 时，

量来描述的，而需要用一组态矢量及其相应的概率来描述，则称之为混合态，相

为了说明纯态和混合态的区别，让我们来考察力学量 F 在两种状态上的取值 概率。设算符

F

满足：

| f | F i i i在纯态(1)上，取2

(2 )

fi 值的概率为(投影获得系数，概率为系数平方)2

W ( f i ) i | c1 i |

1 c2 i | 2

(3 )

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而在混合态上，根据混合态的定义可知，取 fi 值的概率为

W ( f i ) i | 1 p1 i | 2 p2显然，上面两式完全不同。

2

2

(4)

若再具体到坐标表象(坐标为自变量),则(1)式为

( x) c1 1 ( x) c2 2 ( x)在纯态(5)上，坐标 取 x0 值 的概率密度为

(5 )

W ( x0 ) ( x0 ) c1 1 ( x0 ) c2 2 ( x0 )而在混合态上，坐标取 x0 值 的概率密度为 2 0 1 0 1 2 0

2

2

(6)

W ( x ) ( x ) p ( x ) p2

2

(7 )

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由上述两式可以看出，在纯态下，两个态之间发生干涉，而在混合态下，无干涉 现象发生。前者为概率幅的叠加，称为相干叠加，叠加的结果形成一个新的状态， 后者为概率的叠加，称为不相干叠加。

2、密度算符的定义为了能够统一地描述纯粹系综和混合系综，1927年 Neumann 给出密度算符 的演算方法。 (1) 纯态下的密度算符的定义 首先，在纯态之下引入密度算符。 设 | 是希尔伯特空间中的任意一个归一化的态矢(纯态), F 为一个 可观测的物理量，对应的本征值和本征矢分别为fi 与 | i 上的平均值为

,算符 F

在状态 |

| F | F选任意一组正交归一完备基底n

(8)

| n | F | | n F | n n | Fn

| n ,于是有

(9)

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说明 | n 选任意一组正交归一完备基底 ,于是有 | n | F | | n F | n n | Fn n

(9)

注意(9)式中含有西格玛，n的变化范围假设为1到N,表示完备基底是N维的。 假设正交归一完备基由N个独立的正交归一函数(矢量)组成,则 | n n 表示一个 N行 | n || n N列的单位矩阵。 | n n左侧表示列矢，右侧表示行矢量； 左侧表示行矢，右 | 侧表示列矢。波函数本身是一个叠加态矢量，可以被任意一个完备的空间基底展开， 也可以被一个N维的空间基底展开。上式(9)表示原式左侧和右侧矢量分别被N维空 间的完备基矢量展开。 选任意一组正交归一完备基底 | n ,于是有(注意：在一个1*n和一个n*1两个矢量 间插入一个单位n*n的矩阵，结果不变)

| n | F | | n F | n n | Fn n

(9 )

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若引入纯态之下的密度算符(此算符为方阵，方阵对角元为构成纯态的任 意子态出现的概率，对角元加和为1。若右侧左右两矢量交换位置，则显 然也等于1,即为密度为1(而非密度算符),相当于做西格玛和求阵迹。)

| |

(10)

则(9)式可以写为

| n Tr ( F ) F

n | Fn

(11)

在一个归一化的纯态 | 上的平均值等于该算符与密度算符 上式说明算符 F 之积的阵迹。显然，密度算符是一个投影算符。力学量

F 在状态 | 上的取值 fi 概率2

W ( f i ) i | i | | i i | | i

(12)

的第 i 个本征态上的平均值。 它是密度算符在算符 F 总之，利用状态 | 定义的密度算符可以给出任意力学量 F 在该状态上取值概率与平均值，因此，纯态下的密度算符是可以代替态矢来描述纯态的一个算符。

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(2) 混合态下的密度算符的定义 对于前面定义的混合态而言，一个物理量 F 的平均值要通过两次 求平均来实现。首先，进行量子力学平均，即求出力学量 F 在每个参与 | ,然后，在对其进行统计平均，即求 态| i 上的平均值 | F i i 出以各自概率出现的量子力学平均的平均，称为加权平均，用公式表示 为：

| F pi i | F ii

(13)

类似纯态的做法，得到：

| F pi i | n n | F in i

[ | p |] | n …… 此处隐藏：3113字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……