1.1 因动点产生的相似三角形问题

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

图1

．

满分解答

（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°， 所以AH＝1，OH

A( 1．

因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， 设

y

＝

ax(x

－

2)

，

代

入

点

A

( 1，可

得

a

． 图2

3

所以抛物线的表达式为y

2x(x 2) xx． （2

）由y

2 x x 1)2． ．所以tan BOM

得抛物线的顶点M

的坐标为(1,

所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°． （3）由

A( 1、B(2,0)、

M(1,，

得tan ABO

AB

OM

OA

OM

所以∠ABO＝30

°，

因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°． △ABC与△AOM相似，存在两种情况： ①如图3

，当

BAOA

时，BC 2．此时C(4,0)． BCOMBCOA

时，BC 6．此时C(8,0)．

BAOM

②如图4

，当

图3 图4

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．

如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为(－4,0)．

图5

例2 2012年苏州市中考第29题

121b

x (b 1)x （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交444

于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线y

图1

．

满分解答

b)． 4

（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP．

1b15

所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝ x b x bx＝2b．

2428

161616

解得x ．所以点P的坐标为(,)．

555

（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0,

图2 图3 11b1

（3）由y x2 (b 1)x (x 1)(x b)，得A(1, 0)，OA＝1．

4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．

BAQA当，即QA2 BA OA时，△BQA∽△QOA． QAOA

b

所以()2 b

1．解得b 8 Q为

(1,2．

4

②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． BAQA当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． QAOA所以C、Q、B三点共线．因此

BOQA

，即b QA．解得QA 4．此时Q(1,4)．

COOA1

4

图4 图5

考点伸展

第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA

与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．

如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？

如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．

例3 2012年黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C1：y

1

(x 2)(x m) (m＞0)与x轴交于点B、C，与m

y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

图1

满分解答

11

(x 2)(x m)，得2 4(2 m)．解得m＝4． mm111

（2）当m＝4时，y (x 2)(x 4) x2 x 2．所以C(4, 0)，E(0, 2)．

442

11

所以S△BCE＝BC OE 6 2 6．

22

（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．

HPEO

设对称轴与x轴的交点为P，那么．

CPCO

HP233因此 ．解得HP ．所以点H的坐标为(1,)．

3422

（4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．

CEBC

由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即BC2 CE BF时，△BCE∽△FBC．

CBBF

（1）将M(2, 2)代入y

1

(x 2)(x m)1FF'EO2设点F的坐标为(x, (x 2)(x m))，由，得 ．

mBF'COx 2m

解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．

COBF'm 4由．所以BF ．

CEBFBF

由BC CE

BF，得(m 2)

2

2整理，得0＝16．此方程无解．

图2 图3 图4

②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，

BEBC

由于∠EBC＝∠CBF，所以，即BC2 BE BF时，△BCE∽△BFC．

BCBF在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得

1

(x 2)(x m) x 2． m

解得x＝2m．所以F′(2m,0)．所以BF′＝2m＋2

，BF m 2)．

由BC2 BE

BF，得(m 2)2 m

2)．解得m 2 综合①、②，符合题意的m

为2

考点伸展

第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．

例4 2010年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动 …… 此处隐藏：4557字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……