指数函数的性质的应用

第二课时

1. 指数函数 : 函数 y=ax(a>0, 且 a≠1) 叫做指数 函数其中x是自变量,函数定义域是R. 2.指数函数的图象和性质：a >1 y 图 象y=1(0,1)

0< a <1 y(0,1)

y=1

o x x ( , ) 1.定义域： 性 2.值域： ( 0 , ) 3.过点 ( 0 , 1 ) ,即x = 0 时,y = 1 质 4.在R上是 增 函数 在R上是 减 函数 o

yx 1 y ( ) 3 x 1 y ( ) 2

y 3 y 2x

x

在第一象 限里,图象从 低到高,底数 逐渐变大.

o

x

有关指数函数的定义域、值域对于 y=a (a>0,且 a≠1)这类函数， (1)定义域是指使 f(x)有意义的 x 的取值范围； (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出 u=f(x)的值域； ②利用指数函数 y=a 的单调性求得此函数的值域.u f(x )

例3 求下列函数的定义域与值域：2 -1 (1)y=2x-4;(2)y= x . 2 +11 x

1 x 【思路点拨】 求定义域→求 或 2 的取值范围→ x-4 确定函数的值域.

【解】 (1)定义域：∵ x- 4≠ 0,∴ x≠ 4, ∴函数 y= 2x- 4的定义域为 {x|x≠4}.1 1 1 值域：∵ ≠ 0,∴2x- 4>0 且 2x- 4≠ 1, x- 4 1

∴函数 y= 2x- 4的值域为 {y|0<y<1,或 y>1}.

1

(2)定义域：∵ 2 >0,∴ 2 + 1≠ 0 恒成立， x 2 -1 ∴函数 y= x 的定义域为 R. 2 +1 x 2 -1 2 值域：法一：(分离常数法)y= x = 1- x . 2 +1 2 +1 x x ∵ 2 >0,∴ 2 +1>1. 1 2 ∴ 0< x <1,∴ 0< x <2. 2 +1 2 +1 2 ∴-2<- x <0. 2 +1

x

x

2 ∴-1<1- x <1,即-1<y<1. 2 +1 x 2 -1 ∴函数 y= x 的值域为 (- 1,1). 2 +1 x 2 -1 x 1+ y 法二： (反解法 )由 y= x ,得 2 = , 2 +1 1- y 1+ y x 由 2 >0,得 >0, 1- y ∴-1<y<1. x 2 -1 ∴函数 y= x 的值域为 (- 1,1). 2 +1

练一练： 求下列函数的定义域与值域： 2 -|x| (1)y=( ) ;(2)y= 3 1x 1- . 2

解：(1)定义域为 x∈R. 2 -|x| 3 |x | 3 0 ∵ |x|≥0,∴ y=( ) = ( ) ≥( ) = 1. 3 2 2 2 -|x| 故 y=( ) 的值域为 {y|y≥ 1}. 3

1x (2)令 1- ( ) ≥0, 2 1x ∴ ( ) ≤1. 2 1x 由 y= ( ) ,可知 x≥ 0, 2 即定义域为 [0,+∞). 1x 又∵0<( ) ≤ 1, 2 1x ∴ 0≤ 1- ( ) <1,即 0≤ y<1, 2 ∴ y= 1x 1- 的值域为 [0,1). 2

练习：设0≤x≤2,求函数

y 4

1 x 2

3 2 5x

的值域

解： ∵ 0≤x≤2

∴ 1≤ 2x ≤4

令 2x= t 则1≤ t ≤4 y = 0.5 t2- 3t + 5 = 0.5(t-3)2+0.5 当t=3时，y max= 2.5min=

0.5;

当t=1时,

y

∴函数的值域为[ 0.5,2.5 ]

指数形式的复合函数的单调性

并求其值域. 解: 任取x1,x2∈(-∞,1],且x1< x2 , ∵f(x1)>0, f(x2)>0,f ( x2 ) 1 x22 2 x2 x1 2 2 x1 ( ) f ( x1 ) 5 ( 1 )( x2 x1 )( x2 x1 2) . 5

x2 2 x 1 , x ≤ 1 的单调性, 例1.讨论函数 f ( x ) ( 5 )

x12 2 x1 x2 2 2 x 2 1 1 , f (x 2) ( ) , 则 f ( x1 ) ( 5 ) 5

∵ x1<x2≤1, ∴ x2-x1>0

, x1+x2-2<0. 此时 (x2-x1)(x1+x2-2)<0. ( 1 )( x x )( x x 2) ( 1 )052 1 2 1

5

所以 f( x ) 在 (-∞,1]上为增函数. 又 x2 - 2x =(x -1)2 -1≥-1,x2 2 x 1 0 ( ) ≤ ( 1 ) 1 5, 5 5

f ( x2 ) 1, 即 f ( x1 )

f ( x2 ) f ( x1 ).

所以函数的值域是(0,5].

解：由题意得，函数f ( x)的定义域是R。 u x 6在定义域R上是增函数 函数f ( x) ( ) 的单调递减区间是R, 3 没有单调递增区间。

二 指数型函数的单调性 1 x 6 求函数f x ( ) 的定义域和单调区间 31 u 令y ( ) , u x 6 3

1 u y ( ) 在定义域R上是减函数 3 1x 6

1 x 2 2 x 求函数f x ( ) 的定义域和单调区间 3 解：由题意得，函数f ( x)的定义域是R。1 u 2 令y ( ) , u x 2 x 32

u x 2 x是二次函数，其对称轴为x 1且开口向上，2

u x 2 x在(- ,1]上是减函数，在[ 1, )增函数。

函数f ( x) ( ) x 6的单调递增区间是(- , 1] 3

1 u y ( ) 在定义域R上是减函数 3 1

单调递减区间是[ 1,+ )。

三 指数函数的最值问题 【例 3】 (12 分)(1)函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)在区间[1,2] a 上的最大值比最小值大 ，求 a 的值； 2 (2)如果函数 y=a +2a -1(a>0 且 a≠1)在[-1,1]上有最 大值 14,试求 a 的值.2x x x

解：(1)①若 a>1,则 f(x)在[1,2]上递增， 最大值为 a2,最小值为 a. a 3 ∴a -a= ,即 a= 或 a=0(舍去). 2 22

②若 0<a<1,则 f(x)在[1,2]上递减， 最大值为 a,最小值为 a2. a 1 ∴a-a = ,即 a= 或 a=0(舍去), 2 22

1 3 综上所述，所求 a 的值为 或 . 2 2