概率统计、概统随A2007-2008(2)考试卷及答案A卷

北京航空航天大学

BEIHANG UNIVERSITY

2007－2008 学年 第二学期期末

考试统一用答题册

班 级_____________ 学 号 _____________

姓 名______________ 成 绩 _________ 考场教室_________ 任课教师_________

A

2008年6月 26 日

一、单项选择题（每小题3分，满分18分）

1、 设事件A、B为任意事件,则下列各式中成立的是( )。

(A) P(A B) P(A) P(B)； (B) P(A B) P(A) P(B)； (C) P(A B) P(B) P(AB) P(A)； (D) P(A B) P(A)P() 。

2、 有n(n 3)个人随机围坐在一个圆桌的一圈, 甲、乙两人相邻的概率是（ ）。

(A)

2221

； (B) ； (C) ； (D) . nn 1n(n 1)(n 1)!

3、 已知随机变量X的概率密度为f(x)

则有( ) 。 (A) a 1,b

a bx,0 x 21

, 且P{X 1} ,

4 0,其它

1111

； (B) a ,b 1；(C) a 1,b ； (D) a ,b 1 。 2222

4、 设随机变量X在[

,]上服从均匀分布,则Y cosX的概率密度为（ ）。

22

1 1 1 , 1 y 1 , y 2

（A）fY(y) ； y22 ； （B）fY(y)

0,其它 0,其它1 2

,0 y 111 2

（C）fY(y) , y ； （D）fY(y) 。 y

1 y2

0,其它

5、设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立,且服从同一分布,数学期望EXi 0,

方差DXi 2 0,i 1,2,3,4；令X X1 X2 X3,Y X2 X3 X4, 则X与Y的相关系数 XY为（ ）. （A）

2242 ； （B）9 ； （C）； （D）2 。 239

e (x ),x

6、设总体X的概率密度为f(x, ) ,又x1,x2, ,xn为来自于总体X的样

x 0,

本值,则参数 的极大似然估计为（ ）。

n

1 1 。 max{x, ,x} ； min{x, ,x}；（A） （B） （C） （D） xi； 1n1nni 1

二、填空题（每小题3分，满分18分）

1、在一副(不含大小王)52张扑克牌中,随机抽取2张,则取到的2张恰是不同花且最大点

数为7的概率为 。（普通扑克牌共有四种花，每种13张。） 2、某射手在射击中,每次击中目标的概率为p(0 p 1),射击进行到第二次击中目标为止,

X表示第一次击中目标时所进行的射击次数, Y表示第二次击中目标时所进行的射击次数,

则二维随机变量(X,Y)的分布律为P{X i,Y j} 。

3、 设随机变量 X,Y 的分布律为

则P{X 1|Y 2} 。

4、设随机变量X的概率密度为f(x)

其中 , 为常数，且 0 。 则DX 。

1|x |exp{ , x , 2

5、将n只球(1~n号)随机地放进n只盒子(1~n号)中去,一只盒子装一只球,若将一只

球装入与球同号码的盒子中,称为一个配对,记X为配对的个数,则EX 。

6、设总体X~N , 2,

2

x1,x2, ,xn

为X的样本.

在未知方差 ， 检验假设H0: 0时， 选取检验用的统计量是 。

三、（满分12分）从0~9这十个数码中任意取出4个排成一行数码,

求： (1) 所取4个数码恰排成四位偶数的概率;(2) 所取4个数码恰排成四位奇数的概率;

(3) 所取4个数码没排成四位数的概率.

ae (x y),0 2x y

四、（满分12分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) ,

0,其它

(1)确定常数a； (2)求(X,Y)关于X的边沿概率密度； （3）求(X,Y)关于Y的边沿概率密度； （4）求P{X 1,Y 2} .

五、（满分8分）设X1,X2, ,X32为来自于正态总体N( ,42)的样本，

12116

V (X ) 试求：（1）U 服从的分布； （2） 服从的分布； (X )j i

1616i 1j 17

32

（3）令Y

(X

i 132

16

i

)

， 求Y服从的分布。

j

(X

j 17

)2

2

六、（满分12分）设X1,X2,X3为来自总体X的一个样本,EX ,DX ，

115 1X 3X 1X, 1X 3X 1X, 给出三个估计量 , X X X112331232123

510234123412

（1） 证明这三个估计量都是总体均值 的无偏估计量；

（2） 计算这三个估计量的方差； （3） 问这三个估计量哪一个最佳？

七、（满分8分）（此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做）

设{Xi,i 1,2, }是具有状态空间S {0,1}的独立随机序列，且P{Xi 0}

n

1

P{Xi 1} ，i 1,2, 。并令 Yn Xi，

3i 1

2

，3

试求:(1)求随机序列{Yn,n 1,2, }的一维分布率P{Yn k}； (2)求EYn，DYn,E(Yn)； （3）求E[Yn Yn l]，（l为非负整数）。

[七]、（满分8分）（此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做）

接连不断地掷一颗匀称的骰子,直到出现小于5点为止,以X表示最后一次掷出的点数,以

2

Y表示掷骰子的次数.

试求:(1)求二维随机变量(X,Y)的分布律P{X i,Y j};

(2)求(X,Y)关于X边沿分布律，(X,Y)关于Y的边沿分布律; (3)证明：X与 Y相互独立； （4）求EX,EY,E(XY).

八、（满分12分）（此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做）

四个位置:1,2,3,4在圆周上逆时针排列.粒子在这四个位置上随机游动.粒子从任何一个位置,以概率

21

逆时针游动到相邻位置; 以概率顺时针游动到相邻位置;以X(n) j表示时33

刻n粒子处在位置j(j 1,2,3,4),

试作:(1)写出齐次马尔可夫链{X(n),n 1,2, }的状态空间；

(2)求齐次马尔可夫链{X(n),n 1,2, }的一步转移概率矩阵; (3)求条件概率P{X(n 3) 3,X(n 1) 1|X(n) 2} 。

[八]、（12分）（此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做）

设X,X2

1n

1,X2, n是总体N( , )的样本，令Yn n Xi，

i 1

1n

Zn n 1 (X2i Yn)，n 2,3, 。 i 1

试作：（1）求EZ2

n；（2）求DZn；（3）证明：对任何 0，成立nlim

PZn

1

。

概率论与数理统计 考试卷

答案及评分细则 （2008-6-26 ） A卷 ：一、单项选择题（每小题3分，满分18分）

1C； 2 B；3A；4D；5A；6C。

二、填空题（每小题3分，满分18分）

1、

1

；2、P{X i,Y j} p2(1 p)j 2 , i 1,2, ,j 1;j 2,3, . 17

3、

02

；4、2 2 ； 5、1 ； 6、T ~t n 1 。 3s/n

B卷 ：一、单项选择题（每小题3分，满分18分）

1D；2A；3C；4B；5B；6D 。

二、填空题（每小题3分，满分18分）

1、P{X k,Y m} p2(1 p)m 2 , k 1,2, ,m 1;m 2,3, .

2、

011

；3、；4、2 2 ； 5、U ~N(0,1)；6、1 。

317 /n

A卷： 三、（满分12分）

解(1) 设A 排成四位偶数, (末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0),

12131

C8A8C4 A9C141

P(A) ; 4分 4

90A10

121

C8A8C5404