高中数学人教A版选修1-1练习：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 Word版

第1页 共8页 第二章 2.3

2.3.2

A 级 基础巩固

一、选择题

1．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点且垂直于x 轴的弦为AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB 的大小导学号 03624559( C )

A ．小于90°

B ．等于90°

C ．大于90°

D ．不能确定

[解析] 过抛物线焦点且垂直于x 轴的弦AB 为通径，其长度为2p ，又顶点到通径的距离为p 2

，由三角函数知识可知，∠AOB 大于90°. 2．若AB 为抛物线y 2＝4x 的弦，且A (x 1,4)、B (x 2,2)，则|AB |＝导学号 03624560( B )

A ．13

B ．13

C ．6

D ．4

[解析] 代入点A ，B 可得x 1＝4，x 2＝1，由两点间距离公式得|AB |＝13.

3．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为导学号 03624561( B )

A ．(14，±24

) B ．(18，±24) C ．(14，24) D ．(18，24

) [解析] 设焦点为F ，原点为O ，P (x 0，y 0)，由条件及抛物线的定义知，|PF |＝|PO |，又F (14，0)，∴x 0＝18

， ∴y 20＝18，∴y 0＝±24

，故选B ． 4．已知P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为导学号 03624562( B )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

[解析] 根据题意可知，P 点到准线的距离为8＋p ＝10，可得p ＝2，所以焦点到准线的

第2页 共8页 距离为2p ＝4，选B ．

5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为导学号 03624563( C )

A ．34

B ．1

C ．54

D ．74

[解析] 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，

由|AF |＋|BF |＝3得，x 1＋x 2＋12

＝3， ∴x 1＋x 2＝52

， ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x 1＋x 22＝54

. 6．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交于C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为导学号 03624564( C )

A ． 5

B ．2 2

C ．2 3

D ．3 3 [解析] 抛物线y 2＝4

x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.

由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．

联立得方程组?????

y ＝3(x －1)，y 2＝4x ， 解得??? x ＝13，y ＝－233或?????

x ＝3，y ＝2 3.

第3页 共8页 ∵点M 在x 轴的上方，

∴M (3,23)．

∵MN ⊥l ，

∴N (－1,23)．

∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，

|MF |＝|MN |＝

(3＋1)2＋(23－23)2＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形．

∴点M 到直线NF 的距离为2 3.

故选C ． 二、填空题

7．过点M (3,2)作直线l 与抛物线y 2＝8x 只有一个交点，这样的直线共有__1__条.导学号 03624565

[解析] ∵点M (3,2)在抛物线内部，∴过点M 平行于x 轴的直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 只有一个交点．

8．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为__(－9，－6)或(－9,6)__.导学号 03624566

[解析] 由抛物线方程y 2＝－2px (p >0)，得其焦点坐标为F ????－p 2，0，准线方程为x ＝p 2，设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p 2

－(－9)＝10，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x .

将M (－9，y )代入抛物线方程，得y ＝±6，∴M (－9,6)或M (－9，－6)．

三、解答题

9．(2016·山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程.导学号 03624567

[解析] 如图，依题意可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p >0)，