线性代数第一章1-3

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第三节 n阶行列式的定义 阶行列式的定义

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一、概念的引入三阶行列式

a11 D = a 21 a 31说明

a12 a 22 a 32

a13 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33

(1)三阶行列式共有 6 项，即 3! 项. ) (2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的 ) 乘积. 乘积.

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(3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列 ) 的三个元素的下标排列. 的三个元素的下标排列. 例如 a13a21a32 列标排列的逆序数为 偶排列 + 正号 奇排列 负号,t (312) = 1 + 1 = 2,

a11a23a32a11 a12 a13

列标排列的逆序数为

t (132) = 1 + 0 = 1,

∴ a21 a22 a31 a32

a23 = ∑ ( 1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a33

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二、n阶行列式的定义 阶行列式的定义定义 设有n2 个数，排成 n 行n列的数表a11 a21 M a12 L a1n a22 L a2 n M M

an1 an 2 L ann 作出 表 中位 于 不同 行不 同 列的 n 个元 素 的乘 积 ， 并冠以符号( 1)t ,得到形如( 1)t a1 p1 a2 p2 L anpn的 项， 共 n ! 项 ， 所有 这些 项 的代 数 和 ( 1)t a1 p1 a2 p2 L anpn ∑ 称为n阶行列式，

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a11 记作 a 21 D= M a n1

a12 a22 M

L a1n L a2 n M

a n 2 L a nn

简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式 det(aij ) 的元素. 的元素. 2, 的一个排列， 其中 p1 p2 L pn 为自然数 1, L,n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数. 为这个排列的逆序数.

D=

a11 a12 L a1n a21 a22 L a2 n LLLLLLL an1 an 2 L ann

=

∑ ( 1)p1 p2 L pn

t ( p1 p2 L pn )

a1 p1 a2 p2 L anpn

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说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 、行列式是一种特定的算式， 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 定义的 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和 、 项的代数和; 3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 、 阶行列式的每项都是位于不同行、 个元素的乘积; 列 n 个元素的乘积 4、 一阶行列式 a = a 不要与绝对值记号相混淆 、 不要与绝对值记号相混淆;t 5、 a1 p1 a2 p2 Lanpn 的符号为 ( 1) . 、

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例1 计算对角行列式0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0

解

分析

展开式中项的一般形式是

a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4

若 p1 ≠ 4 a1 p1 = 0,

从而这个项为零， 从而这个项为零，

所以 p1只能等于 4 , 同理可得 p2 = 3, p3 = 2, p4 = 1

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即行列式中不为零的项为a14 a 23 a 32 a 41 .0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0

= ( 1)

t ( 4321 )

1 2 3 4 = 24.

a11 a12 L a1n计算上三角行列式 例2 计算上三角行列式

0 a22 L a2 n LLLLLLL 0 0 L ann

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解

分析a1 p1 a2 p2 Lanpn .

展开式中项的一般形式是

pn = n, pn 1 = n 1, pn 3 = n 3,L p2 = 2, p1 = 1,所以不为零的项只有 a11a22 Lann .

a11 ∴

a12 L a1n

0 a22 L a2 n LLLLLLL 0 0 L ann

= ( 1)

t ( 12Ln )

a11a 22 L a nn

= a11a22 Lann .

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例3

1 0 D= 0 0

2 4 0 0

3 2 5 0

4 1 =? 6 8

1 0 D= 0 0

2 4 0 0

3 2 5 0

4 1 = a11a 22 a 33 a 44 = 1 4 5 8 = 160. 6 8

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同理可得下三角行列式 同理可得下三角行列式

a11 a 21 a n1

0 a 22 an 2

0 L 0 0 L 0 a n 3 L a nn

LLLLLLLL

= a11a22 Lann .

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例4

证明对角行列式 证明对角行列式λ1 λ2O

= λ1λ2 Lλn ;λnλ1n ( n 1 ) 2

λ2N

= ( 1)

λ1λ2 Lλn .

λn

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证明 若记

第一式是显然的,下面证第二式 第一式是显然的 下面证第二式. 下面证第二式

λi = ai ,n i +1 , 则依行列式定义λ1 λ2N= a n1 a 2 ,n 1 N a1n

λn

= ( 1)= ( 1)

t [n ( n 1 )L21]n ( n 1 ) 2

a1na2 ,n 1 Lan1证毕

λ1λ2 Lλn .

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三、小结1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 行列式是一种特定的算式， 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 要而定义的 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 、 个元素的乘积,正负号由下标排 行、不同列 的 n个元素的乘积 正负号由下标排 列的逆序数决定. 列的逆序数决定

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思考题x 1 f (x) = 3 1 1 1 2 x 1 1 2 x 1 1 2x 1

已知

求 x 3 的系数 .

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思考题解答解 的项有两项,即 含 x 3 的项有两项 即

x 1 f (x) = 3 1对应于t

1 1 2 x 1 1 2 x 1 1 2x 1

( 1) a11a22a33a44 + ( 1)t (1234 ) a11a22a34a43