同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数

同济大学高等数学(第七版)上册

教材:

《高等数学》(第七版)同济大学应用数学系 主编高等教育出版社, 2014.7.

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数学 不仅是一种工具,而且是一种思维模式;

数学 不仅是一种知识,而且是一种素养;

数学 不仅是一种科学,而且是一种文化;

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何谓数学素养(数学素质)?通俗说法——把所学的数学知识都排除或忘掉后，

剩下的东西。

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微积分的创立背景1、 计算曲面面积，如：由曲线 y 2 x2

和直线 y x 4所围成的图形的面积.

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2、求空间立体的体积yy f ( x)

o

x x dx

x

z f ( x, y)

D

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3、变速运动物体的瞬时速度

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4、炮弹的最大射程

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5、光滑曲线的切线和法线

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什么是高等数学 ?初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题.

高等数学 —

研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.

数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数， 辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻 成为必要的了,而它们也就立刻产 生.

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高等数学的主要内容1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程

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如何学好微积分 ?1、深刻理解基本概念

2、勤于思考，敢于提问，独立完 成作业华罗庚

3、快乐学习，在学习中提升自己、 认识自己

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第一章

函数与极限分析基础

函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁

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第一节

函数

一、基本概念 二、函数及其几种基本特性 三、反函数 四、复合函数 初等函数

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一、基本概念1.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.

a, b R, 且a b.

{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)

o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o ab

x

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{ x a x b} { x a x b}

称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间

[a , ) { x a x }

( , b) { x x b}无限区间

o

a ob

x x

区间长度的定义:

两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.

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2.邻域: 设a与 是两个实数, 且 0.

数集{ x x a }称为点a的 邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径.

U (a ) { x a x a }.

a a a o 点a的去心的 邻域, 记作U (a).

x

U (a) {x 0 x a }.

o