相似三角形经典大题

相似三角形经典大题解析

1.如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6， B和 C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h． （1）请你用含x的代数式表示h．

（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A1，△A1MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少？

2．如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0， 2)三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

3．如图，已知直线l1:y

28

x 与直线l2:y 2x 16相交于点C，l1、l2分别交x轴于33

A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在x轴上，且

点G与点B重合．

（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

4．如图，矩形ABCD中，AD 3厘米，AB a厘米（a 3）．动点M，N同时从B点

出发，分别沿B A，B C运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）若a 4厘米，t 1秒，则PM ______厘米；

（2）若a 5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

N

5．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

6．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90º，CB＝3，OA＝6，BA＝5．分别以OA、

OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标； （2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求

直线DE的解析式；

（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N．使

以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

.7．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交 于点O，∠1 = ∠2 = 45°．

（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD

的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到

图15-2，其中AO = OB． 求证：AC = BD，AC ⊥ BD；

（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到

图15-3，求

10．如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。 （1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？

（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；

（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQ⊥MN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说

明理由；

（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与△MON相似？若存在，求出此时间t；若不可

能，请说明理由；

BD

的值． AC

11、如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．

⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点． ⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．

B

①

C

B

②

C

B

③

C

A

A

A