线性代数简明教程,(第二版)科学出版社课后答案第一章矩阵习题答

线性代数简明教程,(第二版)科学出版社课后答案

第一章

矩阵x1 , y1

y 1、写出下列由变量 x,。 到变量的线性变换的 系数矩阵：

x1 = x + 0 y x1 = x cos y sin (1) ( 2) y1 = 0 x + 0 y y1 = x sin + y cos

1 0 A= 0 0

cos A= sin

sin cos

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2、二省城市间如下图，每条线上的数字表示 连接这两个城市的不同通路总数， 试用矩阵形式表示城市间的通路情况。 b1 b2 b 3 b1 a1 4 4 1 3 a1 1 a2 0 b2 3 2 2 a2

2 2

b3

a1

a2

b2 1 b3 3

b1 4

0 2 2

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3.

1 A = 1 1

1 1 1

1 1 1 , B = 1 0 1

2 2 5

3 4 , 1

2 3 AB 2 A = 2 4 0 AT B = 0 2 5 5 9

13 17 298 6 0

22 20 2

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4、计算 2 1 1 (1) 3 1 0 0 1 2 2

( 2) ( x

a11 y 1) a21 b 1

a12 a22 b2

b1 x b2 y c 1

7 4 4 = a11 x 2 + a22 y 2 + c12 + 2a12 xy + 2b1 x1 + 2b21 y = 9 4 3 3 3 4 a11 a12 a13 x 补充

= a11 x 2 + a22 y 2 + c + 2a12 xy + 2b1 x + 2b2 y

(x

y

z ) a21 a 31

a22 a32

a 23 y a33 z

= a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + (a12 + a21 ) xy + (a13 + a31 ) xz + (a23 + a32 ) yz

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x1 = 2 y1 + y3 x2 = 2 y1 + 3 y2 + 2 y3 x = 4y + y + 5y 1 2 3 3

5、已知两个线性变换

y1 = 3 z1 + z 2 y2 = 2 z1 + z3 , y = z + 3z 2 3 3

求从 z1 , z 2 , z3 到 x1 , x2 , x3 的 线性变换 分析： X = AY , Y = BZ , X = ABZ

2 A = 2 4

所以

3 6 1 3 1 0 3 B= 2 0 1 AB = 12 4 9 10 1 16 0 1 3 1 x1 = 6 z1 + z 2 + 3 z3 x2 = 12 z1 4 z 2 + 9 z3 , x = 10 z z + 16 z 1 2 3 30 1 2 5

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6.设

f ( x) = a0 x m + a1 x m + L + am , A 是 n 阶方阵，

定义 f ( A) = a0 Am + a1 Am + L + am E ,

2 1 当 f ( x) = x 5 x + 3, A = 3 3 时， 求 f ( A)2

解： f ( A) = A2 5 A + 3E

= O2×2

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7.设方阵 A 满足 A 3 A 2 E = O,2

证明：A 及 A 2 E 都可逆， 并用 A 分别表示出它们的为可逆矩阵。 证明： A2 3 A = 2 E ( A 3E ) A = 2 E

1 1 1 ( A 3E ) A = E A = ( A 3E ) 2 2 2 A 2 A A + 2 E 4 E = O, ( A 2E ) A ( A 2E ) = 4E

( A 2 E )( A E ) = 4 E ( A 2 E ) 1 = L 1 ( A 2E) ( A E ) = E 2

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8.利用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵： 1 (1 ) A = 2 1 r2 2r1

2 4 2

3 6 3

1 2 1

→ r +r3 1

1

0 0

2 0 0

3 0 0

1 0 0

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3 1 (2)B = 1 1

1 0 2 40 1 2 4

4 1 1 3 1 4 1 3

2 1 3 31 2 3 3

2 0 4 0 0 2 4 0

→r2 r1

1 3 1 1

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→r4 + r1

r2 3r1 r3 r1

1 0 0 0

0 1 2 4

1 1 2 2

1 1 2 2

0 2 4 0

→( 1)r2

1 0 0 0

0 1 2 4

1 1 2 2

1 1 2 2

0 2 4 0

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r3 2r2

r4 4r2

→1 r4 2

1 0 0 0

0 1 0 0

1 1 0 2

1 1 0 6

0 2 0 8

r3 r4

→

1 0 0 0

0 1 0 0

1 1 1 0

1 1 3 0

0 2 4 0

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r2 r3r1 + r3

→

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

4 2 3 0

4 2 4 0

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9.对下列初等行变换，写出相应的初等方阵以及

A 和 B 之间的关系式。 1 A = 2 1 c3 + c1

0 3 1

1 1 2

2 r 2r 1 2 1 2 0 1 1

~

0 3 1

1 3 2

2 2 1

~

1 0 1

0 3 1

0 3 3

2 2 = B 1

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1 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 1 1 0 E4 = 0 0

r2 2r1

~

1 0 0 2 1 0 = P 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 =Q 0 1 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 c3 + c1 0 1 0 0 0 1

~

PAQ = B

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10.设 P 1 AP = Λ, 其中求 A9 提示：9

1 4 1 0 , Λ = P= 1 0 2 1

A = PΛP 1 1 9 1 1 1

A = ( PΛP ) = PΛP PΛP L PΛP = PΛ9 P 1

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4 11.设 A = 0 0 求B

0 3 0

0 0 , 2

AB = A + 2 B

提示： ( A 2 E ) B = A 方法一：先求 ( A 2 E ) 1 ,

B = ( A 2E) A再求 ( A 2 E ) 1 A

1

1

方法二：直接求 ( A 2 E ) 1 A

(( A 2 E ) M A)

→行

( E M ( A 2 E ) 1 A)