传染病感染数学模型论文

孤岛疾病数学模型的研究及改进的论文

传染病感染问题研究

一、 摘要：

面对严重影响人类生活甚至生存的传染病感染问题，越来越多的人意识到研究其传染的严峻性和重要性。许多学者和专家都投入了巨大的精力花费了许多时间来研究各种传染病的传播规律和预防手段，目的就是争取将其对人类的损害降到最低。利用数学模型，建立适当的假设然后对传染病感染问题进行适模拟然后进行研究，找出适当的预防手段是目前研究传染病传播比较流行的做法。诚然对于现实的复杂和不可预测性我们在建立模型时是无法进行完整的模拟，只能对现实进行适当合理的假设。因此本文就是就是在对传染病感染进行简单假设（孤岛疾病问题）的基础上对传染病感染问题进行数学建模并根据给出数据验证建模的准确性，分析模型的优缺点并给出改进方案。

二、 关键词:传染病 数学模型 微积分

三、 引言：

在人类生活中，一直受到各种传染病的困扰，造成各种影响范围巨大人数众多的死亡事件，如十四世纪四十年代肆虐欧洲的“黑死病”，共造成了全世界大约7500万人死亡，其中2500万为欧洲人约占欧洲总人口的三分之一，期间让整个欧洲出现了许多“空城”“死城”影响巨大。虽然随着医学的进步，诸如霍乱、天花等曾肆虐全球的疾病已经得到了有效的控制，但是一些全新的，不断变异升级的传染病却不间断的向人类袭来，如二十世纪八十年代开始迅速传播艾滋病；以及2003年席卷全球肆虐整个中国的“非典型肺炎（SARS）”和此后陆续出现的疯牛病、禽流感和猪流感都给人们的生活和生命带来极大的危害和困扰。长期以来，建立传统的传染病模型，模拟和描述传染病的传播过程，解释传播规律，分析受感染人群以及人数的变化规律，探索抑制和制止传染病传播和蔓延手段等，都是世界各国政府和专家学者们关注的课题之一。

研究传染病模型不可能通过实验获得数据，而且从医疗部门和卫生组织得到资料也是十分有限的，而且这些资料绝大多数是不完全和不充分的，同时由于不同的传染病传播的过程方式传染源各有不同，所以，我们只能按照一般的机理建立简单的模型。

四、 问题重述与分析:

考虑在一个人口数量为N的孤岛上，一部分到岛外旅游的居民回来使该岛感染了一种高传染性的疾病。在某时刻t将会被感染的人数为X(t)。

1) 在合理的假设下建立模型

2) 若初始被感染的人数X1 N/2，画出X关于t的图形；若初始被感染人

数为X1 N/2，画出X关于t的图形。

3) 把X作为t的函数，解出前面给出的模型。

4) 由 3)，当t趋于无穷时求X的极限。

5)

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6) 利用2)的结果估计模型中的常数，并预测t=12天时被感染的人数。分析

上述模型的优缺点，试给出改进方案。

问题分析:根据题目意思,这是一种传染病,感染人数是随时间演变的过程,要求感染人数与时间的关系就应该建立动态模型,在此我选择微分方程,题目并未给出感染人数与未感染人数之间的关系,因此我们可以假设两者之间存在一个以常量作为感染强度的正比关系，并以此建立模型。

五、 建立模型：

1. 模型假设：1.假设传染病期间总人数N不变，即不考虑生死和迁。

2.假设健康尚未感染的人群不具免疫力，即为易感人群。

3.该传染病说有传播途径是与病原接触。

4.每个病人在单位时间内传染人数与该时刻未被感染人数成正比，比例系数为k,即传染强度。

2. 符号说明：X（t）：t时刻被感染的人数

S（t）：t时刻未被感染的人数

k:感染强度

N:孤岛上的人口总数

X0：孤岛上最开始感染的人数

3. 模型的建立与求解：

由于已感染人数和未感染人数之间成正比故一定时间内被感染人

数为kX(N-X)即为dX

dt=kX(N-X)。

联立方程组求解得：

X S N dX

X(0) X kX(N X)

0 dt

dX

dt k N S X(0) X0

X(t) N

1 N

1 kNt

X0 e

,X N设f(t) kX(N X)令d2

tX'

2 f(t) 0

dt

In(N 1)

极大值点tm kN

六、 模型求解:

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dX=kX(N-X) dt

2. 图形为：附图1。附图2. 1. 模型为方程为：

3. 模型的解为：X(t) N N1 ()e kNt

X0 1

4. 在3情况下：t ,X N

5. 由3推导： X N

N1 ()e kNt

X0 1

NN 1 ( 1)e kNt

XX0

XX0 In(N X) In(N 1) kNt

此时令In（

In(N 1）为C则X0N X) C kNtX

X In(） kNt-CN X

经计算随着感染人数增多误差明显增大

6. 从5中结果来看仅仅将单位时间内感染人数与该单位时刻为感染人

数成正比这个比例是不够精确的，还应考虑随时间推移康复的人数。

以下为改进方案：

模型假设：健康人数减少率正比于X(t) S(t)

康复人数增加正比于S（t）

感染人数的增加量为健康人数减少量减去康复人数增加

量

总人数为N

符号说明：X（t）感染人数

S（t）健康人数

Y（t）康复人数

k感染强度

l免疫强度

模型建立与求解：

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dS dt kSX

dX kSX lX dt dXl1dY 1 lXdtkS dt X S Y N X(0) X0,S(0) S0 k 0

七、 模型的推广与改进

我们建立传染病模型的方法是微分方程模型,这种模型的思想和方法都有广泛应用,可以应用于经济.人口.交通.战争.社会.医药.物理.化学等等方面.再综合03年的非典以及06年的艾滋病给我们带来的后果以及应对措施，本模型

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第（2）题程序运行结果：X1 N/2时，取X1 N，则(源程序见SY_f_1.m) 2y=dsolve(Dy=0.1*y*(1-y),y(0)=0.25,x) ezplot(y,[0,70])

3N，则(源程序见SY_f_2.m) X1 N/2 时取X1 4

y=dsolve(Dy=0.1*y*(1-y),y(0)=0.75,x) ezplot(y,[0,70])