概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

概率论

第二节 离散型随机变量离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量表示方法 三种常见分布

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

一、离散型随机变量及其分布律例1 从中任取3 个球 取到的白球数X是一个随机变量 . (1) X 可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每个值的概率为: 3 P { X 0} 3 5 1 3 10 5 6 3 10 5 3 3 10

概率论

3 2 P { X 1} 2 1 3 2 P { X 2} 1 2

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

概率论

1. 定义: 某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 .

2. 定义: 设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取的 一切可能值，称P{ X xk } pk , k 1, 2,

为离散型随机变量 X 的分布律(probability distribution). 其中 pk (k=1,2, …) 满足： 0,

(1)pk

k=1,2, …

(2) k pk 1

用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

例2 设随机变量X的分布律为： k P( X k) a ,

概率论

试确定常数a .

k!

k =0,1,2, …,

0

解: 依据分布律的性质

P(X =k)≥0,

P( X k) 1k

即

a≥0 ,

ak 0

ae 1 e k! k 0 k!

k

k

从中解得 a e

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

二、离散型随机变量表示方法(1)公式法P{ X xk } pk , k 1, 2,

概率论

(2)列表法 Xpk x1 p1 x2 p2 xk pk

随机变量X 的所有取值

随机变量X的各 个取值所对应的 概率

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

例3 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解：X 可取值为0,1,2 ;

概率论

P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01 P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18 P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81 则X的分布律为：Xpk

0 0.01

1 0.18

2 0.81

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

例4 某射手连续向一目标射击，直到命中为止， 已知他每发命中的概率是p, 求所需射击发数X 的分布律. 解: 显然，X 可能取的值是1,2,… , 为计算 P{X =k }, k = 1,2, …,设 Ak = {第k发命中},k =1, 2, …,

概率论

于是 P{X=1}=P(A1)=p,P ( X 2) P( A1 A2 ) (1 p) p

P( X 3) P( A1 A2 A3) (1 p) p2

可见 P( X k) (1 p)k 1 p

k 1,2,

这就是求所需射击发数 X 的分布律.

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

概率论 例5 一汽车沿一街道行驶， 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口， 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立， 且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数， 求X的分布律.

解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3.

设

Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3

路口1

路口2

路口3

P{X=0}=P(A1)=1/2,

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

概率论

X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数

路口1

路口2

路

口3

1 1 P{X=1}=P( A1 A2 ) 2 2

= 1/4

路口1

路口2

路口3

1 1 1 P{X=2}=P( A1 A2 A3 ) =1/8 2 2 2

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

概率论

X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数

路口1

路口2

路口3

P(X=3)=X

1 1 1 P( A1 A2 A3 ) =1/8 2 2 201 2

即

11 4

21 8

31 8

pk

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

三、三种常见分布1.(0-1)分布：(也称两点分布)

概率论

随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值，其分布律为：P X k p 1 p k 1 k

,

k 0,1

0

p 1

或

X

0q

1p

pk

称 X 服从(0-1)分布或两点分布 或

X ~ b(1, p)

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

概率论

对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元 素，即 W { 1 , 2 },我们总能在W上定义一个服从 (0-1)分布的随机变量. 0, 当 1 , X X ( ) 1, 当 2 .

来描述这个随机试验的结果。 检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别 进行登记，检验种子是否发芽以及“抛硬币” 试验都可以用(0-1)分布的随机变量来描述.

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

2. 伯努利试验(Bernoulli Trial) 和二项分布(Binomial Distribution) 看一个试验: 将一枚均匀骰子抛掷3次.令X 表示 3次中出现“4”点的次数 X 的分布律是： 3 1 5 P{ X k } k 6 6 k 3 k

概率论

, k 0,1, 2, 3.

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

概率论

1) 设在一次试验E 中我们只考虑两个互逆的结果: A 或A .

这样的试验E 称为伯努利试验 . 掷骰子: “掷出4点”,“未掷出4点”抽验产品: “是正品”,“是次品” 2) 将伯努利试验E 独立地重复地进行n次, 则称这一串重复的独立试验为 n重伯努利试验, 亦称伯努利概型.

“重复” 是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.“独立” 是指各次试验的结果互不影响 .

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

概率论

3) 用X 表示n 重伯努利试验中事件A发生的次数,则 n k n k P{ X k } p 1 p k k 0,1, , n

(1) 易证： P( X k ) 0(2) P ( X k ) 1k 0 n

称 r.v.X 服从参数为n 和p 的二项分布, 记作 X ~ b(n, p)

概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第二节：离散型随机变量 --- 上海商学院

概率论

例6 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次, 每次任取1 …… 此处隐藏：1922字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……