1静电场-高斯定理

习题：一个带负电荷的质点， 习题：一个带负电荷的质点，在电场力作用下从 点出发经C点运动到B 其运动轨道如图所示。 A点出发经C点运动到B点，其运动轨道如图所示。 已知质点运动的速率是增加的，下面关于C 已知质点运动的速率是增加的，下面关于C点场强方 向的四个图示中正确的是： 向的四个图示中正确的是：

C

r E

BCr E

BC A (C)

r B E r E

B C

A (A)

A (B)

A (D)

答案：( 答案：( D )

dφ E= dS ⊥

匀强电场

dφ = Eds⊥dS⊥θ

r E

rr dsE

若面积元不垂直电场强度， 若面积元不垂直电场强度，

dSθ

电场强度与电力线条数、面积元的 电场强度与电力线条数、 关系怎样？ 关系怎样？

由图可知 通过 ds 和 ds ⊥ 电力线条数相同

r ^ ds = dsn

d φ = Eds

⊥

= Eds cos θ

r r dφ = E dS

二.电通量 (electric flux) 电通量 藉助电力线认识电通量 通过任一面的电力线条数通过任意面积元的电通量

匀强电场

r Eθ

dS⊥

θ

rr dsE

dS

r r dφ = E dSr r E dS

通过任意曲面的电通量怎么计算？ 通过任意曲面的电通量怎么计算？ 把曲面分成许多个面积元 每一面元处视为匀强电场

r r φ = ∫ dφ = ∫ E dSS S

S

讨论

正与负

r r E dS

r r dφ = E d S

取决于面元的法 线方向的选取

S

r r 如前图 知 E d s >0 r r <0 若如红箭头所示 则 E d s通过闭合面的电通量

φ =

∫

S

r r E dS

S

规定： 规定：面元方向 由闭合面内指向面外

φ =

∫

S

r r E d S 确定的值r ES

r r <0 E ds 电力线穿入 r r E d s >0 电力线穿出

r dS

r dS

高斯定理 从点电荷特例引出此定理 dS +q 0 E ∫∫sE dS = ∫∫s 4εr 2 dS cos 0 π +q = q 2 ∫∫ dS s 4εr π + r q = +ε 讨论： 讨论： 为负值， 1. 若 q 为负值，则 E 的方向与 dS 方向相 上式积分值为负值。 反, 上式积分值为负值。 应理解为代数值。 上式中的 q 应理解为代数值。

.

0

0

0

∫∫s E . dS = ε0

q

2. 此式的意义是通过闭合曲面的电场线条数 等于面内的电荷数除以真空中的介电常数。 3. 若电荷在面外，则此积分值为 0。因为 有几条电场线进入面内必然有同样数目的电 场线从面内出来。 4. 若封闭面不是球面，则积分值不变。 q +q

5. 若面内有若干个电荷，则积分值为：

∫∫s E . dS =Σ ε0

qi

高斯定理: 在静电场中，通过任意封闭 曲面电场强度矢量的通量，等于面内所包围 的自由电荷代数和除以真空介电常数。

连续分布，则积分值为： 若空间电荷 连续分布，则积分值为：

r r V S ∫ E d =S

V ∫ρd ε0

6.闭合面内、外电荷的贡献 闭合面内、 闭合面内 对r E

都有贡献

r r 对电通量 E dS 的贡献有

差别 ∫只有闭合面内的电量对电通量有贡献 只有闭合面内的电量对电通量有贡献 电通量S

习题：一点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪一种情况，通过高斯面的电通量发生变化？ (A)将另一点电荷放在高斯面外； (B)将另一点电荷放在高斯面内； (C)将球心处的点电荷移动，但还在高斯面内； (D)将高斯面半径缩小。

答案： 答案：(B)

习题：点电荷 Q被曲面S所包围，从无穷远处引入另一点电荷q到曲面外一点，如图所示，则引入前后： (A) 曲面S的电通量不变，曲面上各点的场强不变； (B) 曲面S的电通量变化，曲面上各点的场强不变； (C) 曲面S的电通量变化，曲面上各点的场强变化； (D) 曲面S的电通量不变，曲面上各点的场强变化;

q Q S 答案： 答案：(D)

习题：已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零，则可以肯定： (A)高斯面上各点场强均为零； (B)穿过高斯面上每一面元的电通量为零； (C)穿过整个高斯面上的电通量为零； (D)以上说法均不对。

答案： 答案：(C)

习题：如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立 方体的A角上，则通过侧面abcd的电通量为多少？如果 放在中心处，则又是多少？

adb

qA

a d b c

q A

cq q , 答 ： 案 2 ε0 6 0 4 ε

习题：一无限长均匀带电的空心圆柱体， 习题：一无限长均匀带电的空心圆柱体， 内半径为a, 内半径为 ,外半径为b,电荷体密度为ρ,若作一半 径为r(a<r<b),长度为 的同轴圆柱形高斯面， 高 的同轴圆柱形高斯面， 径为 ，长度为L的同轴圆柱形高斯面 则其中包含的电量是多少？ 则其中包含的电量是多少？ 斯

面答 案 ： πρ L(r2 a2 )

r L E

习题：关于高斯定理，下列说法哪个是正确的？ 习题：关于高斯定理，下列说法哪个是正确的？ (A) 高斯面不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D 高斯面不包围自由电荷， 为零； 为零； (B) 高斯面上处处D为零，则面内必不存在自由电荷 ； 为零， (C) 高斯面上的D 通量仅与面内自由电荷有关； 通量仅与面内自由电荷有关； (D) 以上说法均不对。 以上说法均不对。

答案：( ) 答案：(C) :(

四. 高斯定理在解场方面的应用

r 利用高斯定理解 E 较为方便常见的电量分布的对称性： 常见的电量分布的对称性： 球对称 均 匀 带 电 的 球体 球面 (点电荷 点电荷) 点电荷 柱对称 无限长 柱体 柱面 带电线

对 Q 的分布具有某种对称性的情况下

面对称 无限大 平板 平面