量子力学3-4 算符之间的对易关系

§3.7 算符的对易关系 两力学量同时 有确定值的条件 测不准关系 讨论微观态ψ 中某一力学量 F 时，总是以F 的本征值谱作 的可能值。 为力学量 F 的可能值。若我们同时观测状态ψ 中的一组不同 力学量 F,G,L 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 ，将会得到什么结果呢？ 这个问题。 这个问题。 主要内容有： 主要内容有： 一个关系： 一个关系：力学量算符之间的对易关系同 征 定 ( 括 定 ) 共 本 态 理 包 逆 理 不 定 系 确 关 三个定理: 三个定理 力 量 恒 理 学 守 定 ∧

1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 ∧ ∧ ∧ ∧ (1)算符之和：算符 F 与 G 之和 F+G 定义为 )算符之和：

(F+ G)ψ = Fψ + Gψ

∧

∧

∧

∧

(1) )∧

F 一般 ∧ + G = G+ F ,例如粒子的哈 密顿算符是动能算符 T 与势能算符 U(r)之和∧ p H= +U(r) = T +U(r) 2µ ∧ ∧ ∧ 2

ψ为任意函数

∧

∧

∧

(2)算符之积：算符 F 与 G 之积定义为 )算符之积：

∧

(F G)ψ = F(Gψ )

∧ ∧

∧

∧

(2) )

算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒

F G G F ≠ 0

∧ ∧

∧

∧

(3) )

n个相同算符F 的积定义为算符 F 的 n 次幂∧ d2 d 例如 F = 则 F2 = 2 dx dx

∧

∧

∧

dn F = n dx

∧ n

为了运算上的方便， 为了运算上的方便，引入量子括号

∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ F, G = F G G F

(5) )

若∧∧

∧ ∧ F, G ≠ 0 ∧ ∧ F, G = 0 ∧∧∧ ∧ ∧ ∧

(6) )∧ ∧ ∧ ∧

称算符 F与 G 是不对易的(不能交换位置) 即 F G ≠ G F 是不对易的(不能交换位置) 若 (7) )

称算符 F与 G是对易的 即 F G = G F 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明∧ ∧ ∧ ∧ [F, G] =∧ [G, F] ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [F, G+ M] = [F, G] + [F, M] ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [F, G M] = G[F, M] +[F, G] M ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [F G, M] = F[G, M] +[F, M]G

(8) (9) (10) (11)

1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易

[x, y] = 0动量算符是微分算符

[ y, z] = 0

[z, x] = 0

(12) )

2 2 因为 则 = x y y x

∧ ∧ px , py = 0

∧ ∧ p y , pz = 0

∧ ∧ pz , px = 0

13) (13)

坐标算符与动量算符： 坐标算符与动量算符：设 ψ 为任意函数∧ x px ψ = ihx ψ x ∧ px xψ = ih (xψ ) = ihψ ihx ψ x x

比较后可得

x px ψ px xψ = ihψ

∧

∧

∧ x, px = ih 但是

(14a) ) (14b) )

∧ x, py = 0

∧ x, p z = 0

同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 ∧ (14c) xi , p j = ihδij

p j ( j = 1,2,3) ≡ ( px , py , pz ) 其中 xi = (i = 1,2,3) ≡ (x, y, z) 坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系， ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其 它力学量的对易关系均可由此导出。 它力学量的对易关系均可由此导出。

∧

∧

∧

∧

1.3 角动量算符的对易关系 ∧ ∧ ∧ , [Lx , x] = 0,[Lx , y] = ihz,[Lx∧ z] = ihy ∧ ∧ [Ly , x] = ihz,[Ly , y] = 0,[Ly , z] = ihx ∧ ∧ ∧ [Lz , x] = ihy,[Lz , y] = ihx,[Lz , z] = 0 只证明其中一个，请注意证明方法 只证明其中一个，[Lx , y] = [ y pz z py , y] = [ y pz , y] [z py , y] = y[ pz , y] +[ y, y] pz z[ py , y] [z, y] py∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

(15)

记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为 记忆方法： 任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。 正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。

= z[ py , y] = ihz

∧

以相同的推导方法和记忆规律，有 以相同的推导方法和记忆规律，∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [Lx , px ] = 0,[Lx , py ] = ih pz ,[Lx , pz ] = ih py ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [Ly , px ] = ih pz ,[Ly , py ] = 0,[Ly , pz ] = ih px ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [Lz , px ] = ih py ,[Lz , py ] = ih px ,[Lz , pz ] = 0

(16) )

另外有

[Lx , Ly ] = ih Lz

∧

∧

∧

[Ly , Lz ] = ih Lx

∧

∧

∧

) [Lz , Lx ] = ih Ly (17) (18) )

∧

∧

∧

L× L = ih L

∧

∧

∧

1.4 几个重要的推论 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ (1) [L2 , L ] = [L2 , L ] +[L2 , L ] +[L2 , L ] = 0 z x z y z z z[L , Lj ] = 0,∧ ∧ 2∧ 2 ∧

j = (1,2,3) = (x, y, z)∧ ∧ 2 ∧ 2 ∧ 2

(19) ) (20) )

(2) [Lj , p ] = 0, [L, p ] = 0, [L , p ] = 0∧

的函数， (3)球坐标下 L 是 θ, 的函数，若有径向函数算符U(r) ) 则 ∧ ∧ (21) ) [L,U(r)] = 0, [L2 ,U(r)] = 0

(4)

[Li , r ] = 0, [L, r 2 ] = 02

∧

∧

(22) )

2 共同本征函数完备系 2.1共同本征函数完备系带来算符对易 共同本征函数完备系带来算符对易 ∧ ∧ 设两个算符 F 和 G有一个共同的本征函数 n ,则必有 ∧ ∧ F n = λa n 及 G n = λb n ,即在 n 态中可以同时确定 这两个力学量的数值， 这两个力学量的数值，那么(F G G F) n = (λaλb λaλb ) n = 0∧ ∧ ∧ ∧

但下结论过早， 这似乎提醒我们有 (F G G F) = 0,但下结论过早，因为 ∧ ∧ 这只是针对某一个特殊函数( ),如果 这只是针对某一个特殊函数(本征函数 n),如果F 和G有 一组完备的共同本征函数，

一组完备的共同本征函数，对于任意态函数

∧ ∧

∧ ∧

ψ = ∑cn nn

(23) )

有 (F G G F)ψ = ∑cn (F G G F) n = 0 则∧

∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧

F G G F = 0或 [F, G] = 0∧

∧ ∧

n ∧ ∧

∧

∧

(24) )

是对易的。 这时才说 F 和 G 是对易的。这个结论可以推广到多个算 符，即 如果一组算符有共同的本征函数完备系 n,则这组算符对易 ∧ ∧ 2 2 例如 L Ym (θ, ) = l(l +1)h Ylm (θ, ) Lz Ym (θ, ) = mhYlm (θ, ) ∧ ∧ 即在 Ylm (θ, ) 态中 L2 , Lz 同时有确定值 l(l +1)h2 mh ,所以 及 ∧ ∧ Ylm (θ, ) 是 L2 , Lz的共同的本征函数，并且是完备的，所以 的共同的本征函数，并且是完备的，

[L , Lz ] = 0

∧ 2

∧

2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备 逆定理：如果一组算符对易， 系的共同的本征函数。 系的共同的本征函数。 这里仅就非简并本征函数系加以证明 ∧ ∧ ∧ 相互对易， 若算符 F和 G 相互对易，对于 F 的本征函数 n ,有

F n = λn n∧

∧

(25) )∧

的本征函数。 可见G n也是算符 F 的属于本征值 λn 的本 …… 此处隐藏：3910字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……