2004年全国高中数学联赛试题及参考答案

数学竞赛

【第一试】

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

2

1、设锐角q使关于x的方程x 4xcos cot 0有重根，则q的弧度数

为

A．6 B。122、已知M= (x,y)|x

2

或

5 12

2

C。6

3

或

5 12

D。12 答：[ ]

b ，若对于所有的m R，

2y

，N= (x,y)|y mx

均有M N ,则b的取值范围是

62,62

62,62

2323

,33

2323

,33

A．[] B。（）C。（） D。[]

答：[ ]

log

2

x 1

12

log

12

x 2

3

3、不等式>0的解集是

A．[2，3] B。（2，3） C。[2，4] D。（2，4） 答：[ ] 4、设O点在△ABC内部，且有OA 2OB 3OC 0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为

3

5

A．2 B。2 C。3 D。3 答：[ ] 5、设三位数n abc，若以a,b,c为三条边的长可以构成一个

等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有

A．45个 B。81个 C。165个 D。216个 答：[ ]

6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C是PA的中点，则当三棱锥O—HPC的体积最大时，OB的长是

5

25

6

26

A．3 B。3 C。3 D。3 答：[ ]

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

数学竞赛

7、在平面直角坐标系xoy中，函数f(x) asinax cosax(a 0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x) _____________。

8、设函数f:R R,满足f(0) 1，且对任意的x,y R，都有f(xy 1)=

f(x)f(y) f(y) x 2，则f(x) ________________

a 1的图像所围成的封闭图形的面积是

2

。

9、如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，二面角A BD1 A1的度数是______________。 10、设

p

是给定的奇质数，正整数k

使得

k pk

2

也

是一个正整数，则k=________________。 11、已知数列a0,a1,a2,...,an...,满足关系式

n

(3 an 1)(6 an) 18

且

a0 3

，则i 0ai的值是______。

1

12、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M（-1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是___________。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2，则算过关。问：

（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？ （Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？

（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）

4

n

14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A（0，3），B（-1，0），C（1，0）。点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中顶。 （Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L经过△ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。

2

15、已知 、 是方程4x 4tx 1 0（t R）的两个不等实根，函数f(x)

数学竞赛

2x t

x 1的定义域为[

2

， ]。

（Ⅰ）求g(t) maxf(x) minf(x);

ui (0,

2

（Ⅱ）证明：对于

1g(tanu1)

1g(tanu2)

)

(i 1,2,3)，若sinu1 sinu2 sinu3 1，则 6

1

g(tanu3)4

3

。

【第二试】

一、（本题满分50分）

在锐角△ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相

交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点， FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求 AK的长。

二、（本题满分50分）

在平面直角坐标系xoy中， y轴正半轴上的点列

An 与曲线y

2x

（x≥

Bn

0）上的点列横坐标为

n N

Bn 满足

OAn OB

n

1n

，直线

AnBn

在X轴上的截距为

an

，点的

bn

，

。

an

（Ⅰ）证明>

an 1

>4，n N。

b2

（Ⅱ）证明有

n0 N

，使得对

n n0

都有

b1

b3b2

...

bnbn 1

bn 1bn

<n 2004。

三、（本题满分50分）

数学竞赛

对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合

m,m 1,...,m n 1 的任一个

f(n)元子集中，均有至少3

个两两互素的元素。

参考答案

12

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

22

1、解：因方程x 4xcos cot 0有重根，故 16cos 4cot 0

0

2

, 4cot (2sin2 1) 0

得

或

sin2

2

6

或2

5 6

，于是

12

5 12

。 故选B。

2、解：M N 相当于点（0，b）在椭圆x 2y 3上或它的内

部

2b3

2

2

2

1,

2

b

2

。 故选A。

331log2x 0

222 logx 1 0

3、

解：原不等式等价于 2

设即

321

t t 0

t,则有 22

t 0

0 log2x 1 1, 2 x 4

解得0 t 1。

。 故选C。

4、解：如图，设D，E分别是AC，BC

OA OC 2OD 2(OB OC) 4OE

(1)(2)

则

由（1）（2）得，

C

数学竞赛

OA 2OB 3OC 2(OD 2OE) 0

，

即OD与OE

共线，

S AECS AOC

32,

S ABCS AOC

3 22

3

|OD| 2|OE|

且

， 故选C。

5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即a,b,c {1,2,...,9} （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数码都相同，所以，

n1 C9 9

1

。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有

2C9

2

。但当大数为底时，设a>b，必须满足b a 2b。此时，

同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有故

6、解： AB OB,AB OP, AB PB,又OH PB

面PAB 面POB, OH HC,OH PA

当HO HC时S HOC

n2 C3(2C9 20) 6(C9 10) 156

2

2

2

C3

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