中学数学的最值问题

中学问题

最值问题是历年高考的热点，也是学生学习的难点。对于中学数学的常见最值问题，可归纳为以下几大块： 一、用函数的单调性求代数函数的最值

（1）对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，如x∈[m，n],则f（m），与f（n）中较大者为最大值，较小者为最小值。

（2）求二次函数f(x)=ax+bx+c在[m,n]上的最值时，先判定对

bb称轴x= 是否属于[m,n]，若∈2a2a

2

[m,n],则

f(m) , f(n) ,f(- 2ba中较大者是最大值，较小者是最小值，若- [m,n]，则f(m)与f(n)中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f(x)2ax2+bx+c的定义域为R，当a>0时，有最小值ymn岂a<0时，有最大值ymax51例1、求函数y=x2-2x-3在，上的最值。 22

511解：≧对称轴x=1∈，而 15

2

2

2

4

4a

2

4a

2

f( 24

7 4

57

例2、（2004年北京卷） f(x)=ax2+bx+c中，若a、b、c成等比数列，且f(0)=-4,则f(x)有最________值（填“大”或“小”）且该值为_______。

解： ≧f(0)=-4 c=-4

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2≧a、b、c成等比数列 b2=ac=-4a 而b≠0 则有a<0

从而函数f(x)=ax2+bx+c的图象的开口向下，故有最大值，其最大值为：4a

（3）对定义在[n,m]上的函数f(x)还可借助导函数值的符号判定其单调性，从而求得函数f(x)在[n,m]上的最值。

x 2x a例3、已知函数∈[1,+≦]

x

2

4ac b

4a

2

16a 4a

当

12时，求函数

1

f(x)的最小值 （2004年上海）

1

解：当时，2x2 ≧f/2

2x1

≧x∈[1,+≦] f/(x)>0 f(x)在[1，+≦]上是增函数 f(x)在区间[1，+≦]上的最小值是 f(x)min=f(1)=

7

2

二、有关三角函数最值的求法 （1）用三角函数的有界性求最值

由于正弦函数，余弦函数均是有界函数，即： -1≤sinx≤1 -1≤cosx≤1,故在求三角函数有关的函数的最值时，可考虑把它转化为同一三角函数，然后运用三角函数的有界性求其最值。 例4，已知R<-4,则函数cos2x+R(cosx-1)的最小值是（ ） A、1 B、-2 C、2R+1 D、-2R+1 解：≧y=cos2x+R(cosx-1) =2cos2x+Rcosx-R-1

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k

4

)

2

k

8

2

而R＜-4 当cosx=1时,ymin=1 例5，a、b是不相等的函数，求y=最大值和最小值。

解：≧y是正值，故使y达到最大（或最小）的x值也使y达到最大（或最小）。

y2=acosx2+bsin2x+2+bcos2x =a+b+

4ab (a-b)sin2x

2

2

acos

2

x bsin

2

x

+

asin

2

x bcos

2

x

的

2

acos

2

x bsin

2

x

〃

asin

2

x bcos

2

x

+asin2x+asin2x

≧a≠b a>0 b>0 (a-b)2>0 0≤sin2x≤1

k

当sinx=±1,即∈z)时ymax=22k 当sinx=0,即∈z)时，ymin= 2

a

2a 2b

+

b

(2)利用三角函数的单调性

如果f(x)在[α,β]上是增函数，则f(x)在[α，β]上有f(x)max=f(β),f(x)min=f(x),如果f(x)在[α,β]上是减函数，则f(x)在[α,β]上有最大值f(x)，最小值f(β).

例6，在0≤x≤求y=cosx-4sinxcosx-3sinx的最2大值和最小值。

解：用二倍角公式及变形公式有：

1 cos2x1 cos2x

22

22

=2(cos2x-sinx)-1 =2 =2

2

44

4

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2

5

24≤4≤4≧0≤x≤

由余弦函数的单调性知：在[0，上是减函数，48

3 时有最小值-1。 故岂x=0时有最大值2

8

3

在，故当482上是增函数，

3

2

3

时，有最8

2

小值-1,当时有最大值。 2

2

综上 当x=0时 ,ymax=2

2

×2

2

2

3

当 时 ,ymin=28

x(-1)-1=2

2

-1

（3）用换元法求三角函数的最值

利用变量代换，我们可以把三角函数的最值问题转化为代数函数最值问题求解，

例7，求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x +cos4x的最大值和最小值。

解：f(x)=sin4x+2sincosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x

=(sin4x+2sin2xcos2x+cos4x)-sin2xcos2x+2sinxcosx

(sin2x+cos2x)

=(sin2x+cos2x)2-sin2xcos2+2sinxcosx =1+2sinxcosx-sin2xcos2x 令t=sinxcosx=

2

2

sin2x 则-

2

≤t≤2

2

2

f(t)=1+2t-t

=-(t-t)+2 (-当t=

2

2

≤t≤)

74

,即x=kπ+

2

4

(k∈z)时,f(x)max=f(t)max=

34

当t=-

1

,即x= kπ+(kπ∈z)时,f(x)min=-4

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f(x)max= f(x)min=-三、用均值定理求最值 1、均值定理的构成的注意事项 二元均值不等式：号）

a b c

3

a b2

7414

≥

ab

（a>0,b>0,当且仅当a=b时取等

≥

3

abc

a>0,b>0，c>0,当且仅当a=b=c

时取等号） n元均值不等式：

a1 a2 an

n

≥

a1a2 an

(a1＞0,a2＞0…an＞0，

当且仅当a1=a2=…=an时取不等号)

在运用均值不等式求最值时应注意以下三点： i>函数解析式中各项均为正数。

ii>函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。

iii>含变数的各项均相等时才能取得最值。 2、均值定理在求函数最值中的应用 例8、解答下列各题 （1）求函数y=x+

22

x

4

(x>0) 的最小值。

（2）求函数y=2x+(x>0)的最小值。 （3）求函数y=6x-3x(0<x<3)的最大值。 （4）求函数y=x(1-x)(0<x<1)的最大值。 (5)(05年全国卷Ⅲ)求函数y=

值。

分析：若均值定理的某一端为常数，则当不等式的等号能取

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1 cos2x 8sin

sin2x

2

4x

23

2

x

(0<x<

2

)的最小

到时，这个常数就是另一端的最值，如

a b2

≥

ab

，当ab为常数

m>0时，则当且仅当a=b时，a+b有最小值2则当且仅当a=b时，有最大值或“定积”。

解：（1）≧y=x+

2

m

，若a+b为常数n>0，

2

，较解这些问题的关键是构造“定”

x

4

=

x

2x2

2

+=

x2

2

+

x

4

≥3x2

2

x2

2

4x

4

=3

当且仅当

2

x

4

，即 x=

2

2

(≧x>0)时，ymin=3

2x

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